ВУЗ:
Составители:
173
порядок Р может быть равен 2, 3 или 6. Но 2Р = (0,1)
≠
О, а если бы Р имела
порядок 3, то было бы 4Р = Р, что неверно. Итак, Р имеет порядок 6.
Эллиптические кривые над рациональными числами.
Еели в уравнении (1) а и b — рациональные числа, то естественно
рассматривать рациональные решения (х, у), т.е. эллиптическую кривую над
полем Q рациональных чисел. Теория эллиптических кривых
над
рациональными числами очень обширна. Было доказано, что соответствующие
абелевы группы являются конечно 'порожденными (теорема Морделла). Это
означает, что каждая из таких групп есть сумма конечной «подгруппы
кручения» (точек конечного порядка) и подгруппы, порожденной конечным
числом точек бесконечного порядка. Число (минимальное) образующих
бесконечной части называется рангом r; оно равно нулю тогда
и только тогда,
когда вся группа конечна. Изучение ранга r и других свойств группы точек
эллиптической кривой над Q связано со многими интересными вопросами
теории чисел и алгебраической геометрии. Например, известный с древних
времен вопрос «Существует ли прямоугольный треугольник с рациональными
сторонами, площадь которого равна данному целому n?» эквивалентен
следующему: «Верно
ли, что ранг эллиптической кривой xnxy
232
−= больше
нуля?» Случай n = 6 и прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5
соответствует точке Р = (-3,9) из примера 2, которая является точкой
бесконечного порядка на эллиптической кривой
x36xy
32
−= . Более подробно
см.[ ].
Эллиптические кривые над конечным полем.
Будем предполагать, что К — конечное поле
q
F
, с
r
pq = элементами.
Пусть Е — эллиптическая кривая, определенная над
q
F
. Если р = 2 или 3, то Е
задается уравнением вида (2) или (3) соответственно.
Легко усмотреть, что эллиптическая кривая может иметь не более 2q+1
различных
q
F
-точек, т. е. точку в бесконечности и не более чем 2q пар (х, у), х.у
∈
q
F , удовлетворяющих (1) (или (2) или (3), если р = 2 или 3). А именно, для
каждого из q возможных значений х имеется не более двух значений у,
удовлетворяющих (1).
Но так как лишь у половины элементов
∗
q
F имеются квадратные корни,
естественно ожидать (если бы
baxx
3
++
были случайными элементами поля),
что количество
q
F -точек примерно вдвое меньше этого числа. Точнее, пусть
χ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- …
- следующая ›
- последняя »
