ВУЗ:
Составители:
172
называется проективной точкой. Если проективная точка имеет ненулевую
компоненту Z, то существует, причем только одна, тройка в ее классе
эквивалентности, имеющая вид (х, у,1): просто полагаем х = X/Z, у = Y/Z. Тем
самым проективную плоскость можно представить как объединение всех
точек (х, у) обычной («аффинной») плоскости с точками, для которых Z =0.
Эти
последние точки составляют то, что называется бесконечно удаленной
прямой; наглядно ее можно, себе представить на плоскости как «горизонт».
Любому алгебраическому уравнению F(x,y) = 0 кривой в аффинной
плоскости отвечает уравнение
F
~
(X,Y, Z) = 0, которому удовлетворяют
соответствующие проективные точки: нужно заменить х на X/ Z, у — на Y/ Z
и умножить на подходящую степень Z, чтобы освободиться от знаменателей.
Например, если применить эту процедуру к аффинному уравнению (1)
эллиптической кривой, то получится «проективное уравнение»
bZ aXZ X ZY
3232
++= . Этому уравнению удовлетворяют все проективные
точки (X, Y, Z) с Z
≠ 0, для которых соответствующие аффинные точки (х, у),
где х = X/ Z, y = Y/ Z, удовлетворяют (1). Помимо них, какие еще точки
бесконечно удаленной прямой удовлетворяют последнему уравнению? Если
положить в уравнении Z = 0, то уравнение примет ви д
3
X = 0, т.е. X = 0. Но
единственный класс эквивалентности троек с X =0, Z =0 — это класс тройки
(0, 1, 0). Это и есть точка, которую мы обозначили О; она лежит на
пересечении оси у с бесконечно удаленной прямой.
. При рассмотрении эллиптических кривых с точки зрения теории
алгебраических чисел обнаруживается глубокая аналогия между координатами
«точек, делящих
эллиптические кривые на n частей» (т.е. таких точек Р, что nР =
О) и точками, делящими на n частей единичную окружность (которые
соответствуют корням степени n из единицы в комплексной плоскости). Более
подробные сведения об этом можно найти в[ ] .
Точки конечного порядка.
Порядком n точки Р на эллиптической кривой называется
такое
наименьшее натуральное число, что nP = 0; разумеется, такого конечного n
может и не существовать,в этом случае мы будем говорить о точке
бесконечного порядка. Часто требуется найти точки конечного порядка на
эллиптической кривой, в особенности, на эллиптических кривых, определенных
над полем Q.
Пример 3. Найти порядок точки Р = (2, 3) на
1xy
32
+= .
Решение. Применяя (5), находим, что 2Р = (0, 1), и вновь с помощью (5).
что 4Р = 2(2Р) = (0,-1). Поэтому 4Р = -2P и, следовательно, 6P = О. Тем самым
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- …
- следующая ›
- последняя »
