ВУЗ:
Составители:
170
рис.1
Теперь мы покажем, почему существует в точности еще одна точка, где
прямаяд l, проходящая через Р и Q, пересекает кривую; заодно мы выведем
формулу для координат этой третьей точки и тем самым — для координат
Р+Q.
Пусть (
11
, yx ), (
22
, yx ) и (
33
, yx ) обозначают координаты соответственно
P, Q и P+Q. Мы хотим выразить
33
, yx через
11
, yx ,
22
, yx .
Предположим, что мы находимся в ситуации п.3 определения P-Q, и
пусть
β
+= axy
есть уравнение прямой, проходящей через Р и Q в этой
ситуации она не вертикальна). Тогда
)/()(
1212
xxyya
−
−
=
и
11
axy −=
β
. Точка на
l, т. е. точка (
β
+axx, ), лежит на эллиптической кривой тогда и только тогда,
когда
baxxax ++=+
32
)(
β
. Таким образом, каждому корню кубического
многочлена
baxaxx +++−
23
)(
β
ответствует точка пересечения. Мы уже знаем,
что имеется два корня
1
x и
2
x . так как (
β
+
11
, axx ),(
β
+
22
, axx ) — точки Р, Q на
кривой. Так как сумма корней нормированного многочлена равна взятому с
обратным знаком коэффициенту при второй по старшинству степени
многочлена, то в нашем случае третий корень — это
21
23
xxax ++= . Тем
самым получаем выражение для
3
x , и, следовательно, Р+Q =
))((
33
β
+− axx или, в терминах
11
, yx ,
22
, yx ,
,)(
21
2
12
12
3
xx
xx
yy
x −−
−
−
= (4)
).(
31
12
12
13
xx
xx
yy
yy −
−
−
+−=
Ситуация в п.5 аналогична, только теперь a — производная dy/ dx в Р.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- …
- следующая ›
- последняя »
