Методы и средства криптографической защиты информации. Жданов О.Н - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СибГАУ | Красноярск

Составители: 

Рубрика: 

171
Дифференцирование неявной функции, заданной уравнением (1), приводит к
формуле
)2/()3(
1
2
1
yaxa += , и мы получаем следующие формулы для
координат удвоенной точки :
1
2
1
2
1
3
2)
2
3
( x
y
ax
x −
+
= , (5)
)(
2
3
31
1
2
1
13
xx
y
ax
yy −
+
+−= .
Пример 2
. На эллиптической кривой xxy 36
32
−= пусть Р = (-3,9) и Q =
(-2,8). Найти Р + О и 2Р.
Решение.
Подстановка 9,3
11
=
−
=
yx , 8,2
11
=
−
=
yx в первое из уравнений
(4) дает
6
3
=x ; тогда второе из уравнений (4) дает 0
3
=
y . Далее, подставляя
36,9,3
11
−
==−= ayx в первое из уравнений (5). получаем для х - координаты
точки 2Р значение 25 / 4, а второе из уравнений (5) дает для у - координаты
значение -35/ 8.
Существует несколько способов доказать, что принятое выше
определение операции сложения Р + Q превращает множество точек на
эллиптической кривой в абелеву группу. Можно использовать результаты из
проективной геометрии, из комплексного анализа
двоякопериодических
функций или алгебраическое доказательство, использующее теорию
дивизоров на кривых. Доказательства каждого из этих типов можно найти в
источниках, указанных в списке литературы.
Если n — целое число, то, как и в любой абелевой группе, nР
обозначает сумму n точек Р при n > 0 и сумму |n| точек -Р, если
0≤n .
Еще несколько слов о «точке в бесконечности» О. По определению, это
— тождественный элемент группового закона. На рисунке (см. выше)
следует себе представлять ее расположенной на оси у в предельном
направлении, определяемом все более «крутыми» касательными к кривой.
Она является «третьей точкой пересечения» с кривой для любой
вертикальной прямой: такая
прямая пересекается с кривой в точках вида
(
11
, yx ), (
11
, yx − ) и О. Мы изложим сейчас более естественный способ введения
точки О.
Под проективной плоскостью мы понимаем множество классов
эквивалентности троек (X,Y, Z) (не все компоненты равны нулю), при этом
две тройки называются эквивалентными, если одна из них — скалярное
кратное другой, т.е. (
λ X,
λ
Y,
λ
Z) ~ (X,Y,Z). Такой класс эквивалентности

Страницы