Методы и средства криптографической защиты информации. Жданов О.Н - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СибГАУ | Красноярск

Составители: 

Рубрика: 

168
(здесь кубические многочлены в правых частях могут иметь кратные
корни), вместе с «точкой в бесконечности» О.
Если К — поле характеристики 3, то эллиптическая кривая над К — это
множество точек, удовлетворяющих уравнению
cbxaxxy
232
+++= (3)
(где кубический многочлен справа не имеет кратных корней), вместе с
«точкой в бесконечности» О.
Замечания.
1. Имеется общая форма уравнения эллиптической кривой, которая
применима при любом поле:
64
2
2
2
31
2
axaxaxyaxyay +++=++ : в случае, когда
char
2
K
≠ , ее можно привести к виду cbxaxxy
232
+++= (или к
виду
cbxxy
32
++= . если К > 3). В случае, когда поле К имеет характеристику
2, это уравнение преобразуется либо к виду (2а), либо к виду (26).
2. Если F(x, у) = О — неявное уравнение, выражающее у как функцию х
в (1) (или в (2), (3)),
т. е.
baxxy y) F(x,
32
−−−=
(или
baxxcyy y) F(x,
32
+−++= , baxxxyy
32
++++ , cbxaxxy
232
−−−− ), то
точка (х, у) этой кривой называется неособенной (или гладкой) точкой, если,
по крайней мере, одна из частных производных
x/F
∂
∂
, y/F ∂∂ в этой точке не
равна нулю. (Производные многочленов можно определить обычными
формулами над любым полем.)
Нетрудно показать, что условие отсутствия кратных корней у
кубических многочленов в правой части в (1) и (3) эквивалентно требованию,
чтобы все точки кривой были неособенными.
Эллиптические кривые над вещественными числами. Перед
обсуждением конкретных примеров эллиптических кривых дат
. разными
полями мы отметим чрезвычайно важное свойство множества точек
эллиптической кривой: они образуют абелеву группу. Чтобы объяснить
наглядно, как это получается, мы временно будем полагать, что К = R. т.е.
что эллиптическая кривая — обычная плоская кривая ( с добавлением еще
одной точки О «в бесконечности»).
Определение.
Пусть Е — эллиптическая кривая над вещественными числами, и пусть
Р и Q - две точки на Е. Определим точки -Р и P+Q по следующим правилам.
1.Точка О - тождественный элемент по сложению («нулевой элемент»)

Страницы