ВУЗ:
Составители:
167
2.8. КРИПТОСИСТЕМЫ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ
В последние два десятилетия все большее применение в криптографии
находит одна из областей теории чисел и алгебраической геометрии —
теория эллиптических кривых над конечными полями. Основная причина
этого состоит в том, что эллиптические кривые над конечными полями
доставляют неисчерпаемый источник конечных абелевых групп, которые
(даже если
они велики) удобны для вычислений и обладают богатой
структурой. Во многих отношениях эллиптические кривые — естественный
аналог мультипликативных групп полей групп, но более удобный, так как
существует большая свобода в выборе эллиптической кривой, чем в выборе
конечного поля.
Начнем с изложения основных определений и свойств эллиптических
кривых. Мы ограничимся минимальным числом основных
фактов,
необходимых для понимания приложений к криптографии , уделяя больше
внимания примерам и конкретным описаниям и меньше заботясь о
доказательствах и общности. Более систематическое изложение этих вопрсов
можно найти в литературе,см. список.
2.8.1. Эллиптические кривые
В этом параграфе мы предполагаем, что К - поле: либо поле R
вещественных чисел, либо поле
Q рациональных чисел, либо поле С
комплексных чисел, либо поле
q
E из q =
r
p элементов.
Определение:
Пусть К — поле характеристики, отличной от 2, 3. и
baxx
3
++ (где a, b
K
∈ ) — кубический многочлен без кратных корней.
Эллиптическая кривая над К — это множество точек (х, у) х, у
K
∈
,
удовлетворявших уравнению
baxxy
32
++= (1)
вместе с единственным элементом, обозначаемым О и называемым «точка
в бесконечности» (о ней подробнее будет сказано ниже).
Если К — поле характеристики 2, то эллиптическая кривая над К — это
множество точек, удовлетворяющих уравнению либо типа
,baxxcyy
32
++=+ (2а)
либо типа
baxxxyy
232
++=+ (26)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- …
- следующая ›
- последняя »
