Прогнозирование устойчивости. Жигулин Г.П - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

15
)...,,,(
21 nB
qqqS = – смешанная стратегия игрока
B
, в которой
стратегии
j
B
применяются с
вероятностями
j
q
, причём 1
1
=
∑
=
n
j
j
q .
Покажем, что для каждой конечной игры, применяя смешанные стратегии,
можно найти решение, т.е. пару устойчивых оптимальных стратегий игроков А
и В.
Решением игры называется пара оптимальных, в общем случае
смешанных стратегий
**
,
BA
SS , обладающих следующим свойством: если один из
игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может
быть выгодно отступать от своей оптимальной стратегии.
Выигрыш, соответствующий решению, называется ценой игры.
Обозначим цену игры, так же как и ранее чистую цену
ν
.
Основная теорема теории игр: Каждая конечная игра имеет, по крайней
мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.
Из этой теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену, причём
β
ν
α
≤
≤
.
(1.5.)
В выражении (1.1.)
α
– нижняя цена игры или, что то же – максимальный
гарантированный выигрыш игрока
A при применении им только своих чистых
стратегий. Очевидно, что каждая чистая стратегия является частным случаем
смешанной, поэтому, допуская кроме чистых стратегий ещё и смешанные,
игрок
A , во всяком случае не ухудшит своих возможностей, т.е.
α
ν
≥
.
Аналогично, рассматривая возможности игрока
B
, приходим к выводу, что
β
ν
≤
.
Далее, полагаем, что в игре
nm
×
найдено решение, которое состоит из
двух оптимальных стратегий:
⎭
⎬
⎫
=
=
)....,,,(
);...,,,(
21
*
21
*
nB
mA
qqqS
pppS
.
(1.6.)
Отметим, что в общем случае в оптимальные стратегии (1.6.) входят не все
допустимые игроку чистые стратегии, т.е. некоторые из чисел
i
p и
j
q
могут
быть равны нулю.
Те стратегии, которые входят в оптимальную смешанную стратегию,
называются активными или полезными стратегиями.

Страницы