Математические основы теории управления. Кац М.Д. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

72
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ
И СИСТЕМ
При изучении систем автоматического управления рассматрива-
ются динамические и статические режимы. При изучении динамиче-
ских (неустановившихся) режимов математическим аппаратом является
аппарат дифференциальных уравнений.
Уравнения, которые кроме неизвестной функции одной или не-
скольких переменных содержит также производные от этой функции,
называются дифференциальными уравнениями. Если неизвестные
функции зависят от одного переменного, дифференциальные уравнения
называются обыкновенными, в противном случае – уравнениями в ча-
стных производных.
При построении математической модели возможно разбиение
системы на отдельные звенья и их математическое описание. Совокуп-
ность уравнений отдельных звеньев и уравнений связи между ними об-
разует систему n уравнений, описывающую систему управления в це-
лом.
Теория матриц оказалась эффективным средством исследования и
решения систем дифференциальных уравнений. Среди них наиболее
простыми являются линейные дифференциальные уравнения с постоян-
ными коэффициентами.
Линейной системой дифференциальных уравнений называется сис-
тема таких уравнений, в которые неизвестные функции и их производ-
ные входят линейно.
В дальнейшем мы будем рассматривать системы уравнений перво-
го порядка и ограничимся случаем, когда эти системы разрешены отно-
сительно производных. Такие системы называют нормальными. Линей-
ная система имеет вид:
d ( )
1
a ( ) ( ) ... ( ) ( )
11 1 12 2 1 1
dt
.........................................................
d ( )
a ( ) ( ) ... ( )
1 1 2 2
dt
xt
x t a x t a x t g t
nn
xt
n
x t a x t a x g t
n n nn n n
,
(2.1)
где
12
( ), ( ), ( )
n
x t x t x t
– неизвестные функции от независимой перемен-
ной t, которые надо определить;
11 12,
,
nn
a a a
– коэффициенты системы;
12
( ), ( ), , ( )
n
g t g t g t
– функции, которые определены и непрерывны на
некотором интервале (a < t < b); n – порядок системы.

Страницы