Составители:
Рис.6.3. Система координат прямоугольного волновода
Разместим прямоугольную систему координат так, как показано на
рис.6.3. В этом случае верхняя и нижняя стенки волновода находятся в
плоскостях y = 0 и y = b, а боковые – в плоскостях x = 0 и x = a .
Уравнение (6.17) в декартовой системе координат имеет следующий вид:
∂
2
Ψ(x,y)/∂x
2
+∂
2
Ψ(x,y)/∂y
2
+æ
2
Ψ(x,y)= 0. (6.39)
При интегрировании уравнения (6.39) воспользуемся уже знакомым нам
методом Фурье. Представим функцию Ψ(x,y) в виде произведения двух
функций X(x) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной
пространственной переменой :
Ψ(x,y)=X(x)Y(y). (6.40)
Подставим (6.40) в (6.39) и выполним частное дифференцирование :
Y(y)⋅∂
2
X(x)/∂x
2
+X(x)⋅∂
2
Y(y)/∂y
2
+æ
2
⋅X(x)⋅Y(y)=0. (6.41)
Перейдя в (6.41) от частных дифференциалов к обыкновенным и
поделив его почленно на произведение X(x)⋅Y (y), имеем
(1/X(x))d
2
X(x)/dx
2
+(1/Y(y))d
2
Y(y)/dy
2
=- æ
2
. (6.42)
Используя те же доводы, что и при анализе уравнения (6.15),
приравняем первый член уравнения (6.42) постоянному коэффициенту – k
x
2
, а
второй – постоянному коэффициенту – k
y
2
, физический смысл которых будет
выяснен позднее. В этом случае уравнение (6.42) может быть представлен в
виде системы из трех более простых уравнений :
d
2
X(x)/dx
2
+k
x
2
X(x)=0. (6.43)
d
2
Y(y)/dy
2
+k
y
2
Y(y)=0. (6.44)
k
x
2
+k
y
2
=æ
2
.
(6.45)
Уравнения (6.43) и (6.44) являются уже знакомыми нам обыкновенными
однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, решениями
которых являются комбинации показательных либо тригонометрических
функций и постоянных коэффициентов (см. (6.16), (6.19), (6.20)). Однако, в
отличие от уравнения (6.16), когда по физическим соображениям мы выбрали
для него решение (6.19), представляющее собой суперпозицию бегущих волн, в
данном случае следует выбрать решения, представляющие собой стоячие
волны, а решения в виде бегущих волн отбросить как физически не
реализуемые, так как распространению бегущих волн в направлениях осей 0x и
61
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
