Составители:
Рубрика:
121
Глава 7. Поверхностные интегралы.
Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криво-
линейных интегралов. Рассматриваются интегралы двух типов: поверхностные
интегралы I-го и II-го рода, их определения аналогичны соответствующим оп-
ределениям для криволинейных интегралов, для определения поверхностного
интеграла II-го рода на поверхности необходимо задать ориентацию. Как и для
криволинейных интегралов, существуют формулы, связывающие поверхност-
ные
интегралы I-го и II-го рода. Однако в отличие от кривой, которая определя-
ется заданием одного параметра, для описания поверхности необходимо уже
два параметра, поэтому вычисление поверхностных интегралов сводится к вы-
числению двойного интеграла по области на плоскости (а не определенного ин-
теграла Римана, как для криволинейных интегралов).
7.1. Поверхностный интеграл I-го рода.
В трехмерном пространстве с декартовой системой координат ОXYZ рас-
смотрим кусочно-гладкую (определение было дано в п.5.1 главы 5) поверхность
Ω, ограниченную кусочно-гладкой (определение в п.6.1) кривой Г = Г(Ω). В
частном случае замкнутой поверхности (например, сферы) ее граница пред-
ставляет собой пустое множество, а значит также является кусочно-гладкой.
Пусть на поверхности
Ω задана функция f(M), где M
= M(х, у, z) – точка
на поверхности, а (х, у,
z) – ее декартовы координаты. Пусть функция f(M) не-
прерывна на поверхности
Ω, т.е. в ранее введенных обозначениях f(M) ∈ С(Ω).
Зададим разбиение
T поверхности Ω с помощью произвольно проведен-
ных кусочно-гладких кривых на части
Ω
1
, Ω
2
, …, Ω
n
(рис. 1). В каждой из этих
частей
Ω
k
выберем по произвольной точке M
k
с координатами (ξ
k
, η
k
, ζ
k
), и
составим интегральную сумму:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- …
- следующая ›
- последняя »
