Теория исключения. Калинина Е.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Очевидно, что Cf + Dg = D(Af + Bg)/B − (AD − BC)f/B.Применяя
результат упражнения 1.2, получаем
R(Af+Bg, Cf+Dg)=R
Af+Bg,
D
B
(Af+Bg)−
AD−BC
B
f
=
=
−
AD−BC
B
n
R(Af+Bg,f)=
−
AD−BC
B
n
(−1)
n
2
R(f,Af+Bg)=
= B
n
AD−BC
B
n
R(f, g)=(AD−BC)
n
R(f, g) .
Пример 1.3. Пусть
f
∗
(x)
def
= x
n
f(1/x)=a
n
x
n
+ ...+ a
0
,g
∗
(x)
def
= x
m
g(1/x)=b
m
x
m
+ ...+ b
0
,
ичислаa
0
,a
n
,b
0
,b
m
отличны от нуля. Доказать, что
R(f
∗
,g
∗
)=(−1)
mn
R(f, g) .
Решение. Корнями полинома f
∗
являются числа 1/λ
j
.Используяра-
венство (1.8) и формулу Виета, получаем
R(f
∗
,g
∗
)=a
m
n
n
j=1
g
∗
1
λ
j
= a
m
n
n
j=1
1
λ
j
m
n
j=1
g(λ
j
)=
=(−1)
mn
a
m
0
n
j=1
g(λ
j
)=(−1)
mn
R(f, g) .
Упражнение 1.4. Вычислить результант полиномов:
а) 3 x
2
+ x − 2 и x
2
− 2 x − 2;
б) x
3
− 3 x +6и x
3
+ x
2
− x −1.
Упражнение 1.5. Найти все значения параметра p, при которых по-
линомы
а) x
3
+ px+1 и x
2
+ px+1;
б) x
3
+ px
2
− 20 и x
3
+ px− 14
имеют общий корень.
12

Страницы