Составители:
Рубрика:
Результатом умножения будет следующая матрица:
L =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
µ
2
1
f(µ
1
) µ
2
2
f(µ
2
) µ
2
3
f(µ
3
)0... 0
µ
1
f(µ
1
) µ
2
f(µ
2
) µ
3
f(µ
3
)0... 0
f(µ
1
) f(µ
2
) f(µ
3
)0... 0
000g(λ
1
) ... g(λ
5
)
000λ
1
g(λ
1
) ... λ
5
g(λ
5
)
000λ
2
1
g(λ
1
) ... λ
2
5
g(λ
5
)
000λ
3
1
g(λ
1
) ... λ
3
5
g(λ
5
)
000λ
4
1
g(λ
1
) ... λ
4
5
g(λ
5
)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
В получившемся матричном равенстве перейдем к определителям:
M · V = L ⇒ det M det V =detL. (1.6)
Найдем выражения для det V идляdetL. Матрица V представляет собой
матрицу Вандермонда (с точностью до перестановки строк). Как известно,
ее определитель равен произведению всевозможных разностей, составлен-
ных из чисел λ
1
,...,λ
5
,µ
1
,µ
2
,µ
3
:
det V =
⎡
⎣
1≤L<K≤3
(µ
K
−µ
L
)
⎤
⎦
⎡
⎣
1≤ℓ<k≤5
(λ
k
−λ
ℓ
)
⎤
⎦
⎡
⎣
3
k=1
5
j=1
(µ
k
− λ
j
)
⎤
⎦
.
Далее, матрица L блочно-диагональная, и
det L =
µ
2
1
f(µ
1
) µ
2
2
f(µ
2
) µ
2
3
f(µ
3
)
µ
1
f(µ
1
) µ
2
f(µ
2
) µ
3
f(µ
3
)
f(µ
1
) f(µ
2
) f(µ
3
)
·
g(λ
1
) ... g(λ
5
)
λ
1
g(λ
1
) ... λ
5
g(λ
5
)
λ
2
1
g(λ
1
) ... λ
2
5
g(λ
5
)
λ
3
1
g(λ
1
) ... λ
3
5
g(λ
5
)
λ
4
1
g(λ
1
) ... λ
4
5
g(λ
5
)
=
= f(µ
1
)f(µ
2
)f(µ
3
)
µ
2
1
µ
2
2
µ
2
3
µ
1
µ
2
µ
3
111
g(λ
1
) × ...× g(λ
5
)
1 ... 1
λ
1
... λ
5
λ
2
1
... λ
2
5
λ
3
1
... λ
3
5
λ
4
1
... λ
4
5
=
(обращаем внимание на то, что определители — снова типа Вандермонда)
= −
⎡
⎣
1≤L<K≤3
(µ
K
−µ
L
)
⎤
⎦
·
⎡
⎣
1≤ℓ<k≤5
(λ
k
−λ
ℓ
)
⎤
⎦
f(µ
1
)f(µ
2
)f(µ
3
)g(λ
1
)×...×g(λ
5
) .
Итак, это — величина правой части равенства (1.6), а величина левой, с
точностью до знака, равна R(f, g) ·det V .ЕслиR(f, g) = 0, то хотя бы одно
из чисел
f(µ
1
),f(µ
2
),f(µ
3
),g(λ
1
),...,g(λ
5
)
10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
