Теория исключения. Калинина Е.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

должно обратиться в нуль (поскольку, по предположению, λ
k
=λ
ℓ
,µ
K
=µ
L
).
2
Замечание. Используя выведенное в ходе доказательства выражение
для det V , можем получить из равенства (1.6) явное представление резуль-
танта R(f, g) через корни обоих полиномов. Действительно, сократив
2
об-
щий множитель, получим:
R(f, g)=a
m
0
b
n
0
m
k=1
n
j=1
(λ
j
− µ
k
) , (1.7)
где λ
1
,...,λ
n
— корни полинома f(x), а µ
1
,...,µ
m
— корни полинома g(x).
Таким образом, величина R(f, g) характеризует расстояние между множес-
твами корней полинома f(x)иполиномаg(x). В свою очередь, формулу
(1.7) можно переписать в эквивалентных видах:
R(f, g)=a
m
0
n
j=1
g(λ
j
)= (1.8)
=(−1)
mn
b
n
0
m
k=1
f(µ
k
) . (1.9)
Иногда в литературе равенство (1.8) берут в качестве формального опреде-
ления результанта. В частном случае g(x) ≡ const из нее следует:
R(f, const)=(const)
n
. (1.10)
Упражнение 1.2. Доказать, что R(f,g)=(−1)
nm
R(g, f).
Упражнение 1.3. Доказать, что R(f
1
· f
2
,g)=R(f
1
,g) ·R(f
2
,g).
Пример 1.2. Доказать, что если n ≥ m ≥ 1,A=0,C=0и
deg(Af(x)+Bg(x)) = deg(Cf(x)+Dg(x)) = n,то
R(Af(x)+Bg(x),Cf(x)+Dg(x)) = (AD − BC)
n
R(f(x),g(x)) .
Решение. Из определения результанта следует, что
R(Af, Dg)=A
m
D
n
R(f, g) . (1.11)
По условию deg(Cf + Dg)=n. Используя (1.11) и (1.8), получаем
R(f, Cf + Dg)=D
n
R(f, g) . (1.12)
2
Что, строго говоря, не всегда допустимо... Тем не менее, мы просим принять на веру,
что следующая формула будет верна всегда!
11

Страницы