Теория исключения. Калинина Е.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

из A[x](a
0
=0,b
0
= 0) составим квадратную матрицу порядка m + n:
M =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
0
a
1
a
2
... ... a
n
0 ... 00
0 a
0
a
1
... ... a
n−1
a
n
... 00
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00... a
0
... ... ... a
n−1
a
n
00... b
0
b
1
... ... b
m−1
b
m
00... b
0
b
1
... ... b
m
0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 b
0
... ... b
m
0 ... ... 0
b
0
... ... b
m
0 ... 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
m
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
n
, (1.3)
элементы выше a
n
и b
0
,инижеa
0
и b
m
все равны нулю.
Определение. Выражение
R(f, g)
def
=(−1)
n(n−1)/2
det M (1.4)
называется результантом полиномов f и g (в форме Сильвестра).
По построению, результант является полиномом относительно коэффи-
циентов a
0
,...,a
n
,b
0
,...,b
m
:
R(a
0
x
n
+ ...+ a
n
,b
0
x
m
+ ...+ b
m
) ∈ Z[a
0
,...,a
n
,b
0
,...,b
m
] .
Упражнение 1.1. Доказать равенство
R(a
0
x
2
+a
1
x+a
2
,b
0
x
2
+b
1
x+b
2
)=(a
0
b
2
−a
2
b
0
)
2
−(a
0
b
1
−a
1
b
0
)(a
1
b
2
−a
2
b
1
) .
(1.5)
Теорема 1.1. Для того чтобы f и g имели общий корень, необходимо
и достаточно выполнение условия R(f, g)=0.
Доказательство . Нам осталось показать достаточность. Идею дока-
зательства проиллюстрируем на примере 1.1. Пусть
f(x) ≡ a
0
(x − λ
1
) × ...× (x − λ
5
),g(x) ≡ b
0
(x −µ
1
)(x − µ
2
)(x − µ
3
) .
Дополнительно предположим, что все корни λ
1
,...,λ
5
полинома f(x)раз-
личны и все корни µ
1
,µ
2
,µ
3
полинома g(x) различны.
Домножим матрицу M справа на матрицу
V =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
µ
7
1
µ
7
2
µ
7
3
λ
7
1
... λ
7
5
µ
6
1
µ
6
2
µ
6
3
λ
6
1
... λ
6
5
... ...
µ
1
µ
2
µ
3
λ
1
... λ
5
1111... 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
8×8
.
9

Страницы