Составители:
Рубрика:
Часть 1. Результант и
субрезультанты
1 Результант
1.1 Определение
Пример 1.1. Найти условие, при котором полиномы
f(x)=a
0
x
5
+ a
1
x
4
+ a
2
x
3
+ a
3
x
2
+ a
4
x + a
5
и g(x)=b
0
x
3
+ b
1
x
2
+ b
2
x + b
3
(a
0
=0,b
0
=0)из A[x] имеют общий корень.
Решение. Пусть f и g имеют корень x = c ∈ C: f(c)=0,g(c)=0.
Тогда
c
2
f(c)=a
0
c
7
+a
1
c
6
+a
2
c
5
+a
3
c
4
+a
4
c
3
+a
5
c
2
=0 ,
cf(c)= a
0
c
6
+a
1
c
5
+a
2
c
4
+a
3
c
3
+a
4
c
2
+a
5
c =0 ,
f(c)= a
0
c
5
+a
1
c
4
+a
2
c
3
+a
3
c
2
+a
4
c+a
5
=0 ,
g(c)= b
0
c
3
+b
1
c
2
+b
2
c+b
3
=0 ,
cg(c)= b
0
c
4
+b
1
c
3
+b
2
c
2
+b
3
c =0 ,
c
2
g(c)= b
0
c
5
+b
1
c
4
+b
2
c
3
+b
3
c
2
=0 ,
c
3
g(c)= b
0
c
6
+b
1
c
5
+b
2
c
4
+b
3
c
3
=0 ,
c
4
g(c)=b
0
c
7
+b
1
c
6
+b
2
c
5
+b
3
c
4
=0 .
(1.1)
Запишем эти равенства как систему линейных уравнений
3
⎧
⎨
⎩
5
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
b
0
b
1
b
2
b
3
b
0
b
1
b
2
b
3
b
0
b
1
b
2
b
3
b
0
b
1
b
2
b
3
b
0
b
1
b
2
b
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
M
8×8
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
c
7
c
6
c
5
c
4
c
3
c
2
c
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X
= O
8×1
(1.2)
относительно столбца неизвестных X =
c
7
,c
6
,c
5
,c
4
,...,1
t
(неуказанные
элементы матрицы M считаются равными нулю). Эта система однородная
и имеет нетривиальное решение (последняя компонента вектора X равна
единице). Следовательно, определитель ее матрицы равен нулю: det M=0.
Это условие является необходимым для существования общего корня у по-
линомов f и g.
Для общего случая полиномов
f(x)=a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ...+ a
n
и g(x)=b
0
x
m
+ b
1
x
m−1
+ ...+ b
m
8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
