Составители:
Рубрика:
которое называется линейным представлением наибольшего общего
делителя.
Теорема 1.2. Существуют полиномы ˜u(x) и ˜v(x) из A[x] со степенями
deg ˜u ≤ (deg f) −1, deg ˜v ≤ (deg g) − 1, удовлетворяющие тождеству
R(f, g) ≡ f(x)˜v(x)+g(x)˜u(x) . (1.14)
Если, вдобавок, полиномы f(x) и g(x) взаимно просты, то полиномы ˜u(x) и
˜v(x) будут определяться единственным образом.
Доказательство проведем снова для случая n =5иm =3. Приба-
вим к последнему столбцу матрицы M ее первый столбец, домноженный на
x
7
, второй, домноженный на x
6
, и т.д., предпоследний, домноженный на x.
Величина определителя не изменится. С другой стороны,
R(f, g)=
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
0 x
2
f(x)
0 a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
xf(x)
00a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
f(x)
0000b
0
b
1
b
2
g(x)
000b
0
b
1
b
2
b
3
xg(x)
00b
0
b
1
b
2
b
3
0 x
2
g(x)
0 b
0
b
1
b
2
b
3
00x
3
g(x)
b
0
b
1
b
2
b
3
000x
4
g(x)
.
Представим последний столбец определителя в виде суммы двух:
[x
2
f(x),xf(x),f(x), 0, 0, 0, 0, 0]
t
и[0, 0, 0,g(x),xg(x),x
2
g(x),x
3
g(x),x
4
g(x)]
t
;
тогда определитель можно также представить в виде суммы двух сла-
гаемых. Следовательно, полином ˜v(x)(или˜u(x)) равен определителю,
получающемуся из результанта заменой в нем последнего столбца на
[x
2
,x,1, 0, 0, 0, 0, 0]
t
(или соответственно на [0, 0, 0, 1,x,x
2
,x
3
,x
4
]
t
).
Пусть теперь полиномы f(x)иg(x) взаимно просты. Тогда тождество
(1.13) имеет вид
f(x)˜v(x)+g(x)˜u(x) ≡ 1 . (1.15)
Будем искать полиномы ˜u(x)и˜v(x), ему удовлетворяющие, методом не-
определенных коэффициентов:
˜v(x)
def
= v
0
x
2
+ v
1
x + v
2
, ˜u(x)
def
= u
0
x
4
+ u
1
x
3
+ u
2
x
2
+ u
3
x + u
4
.
Подставим эти выражения в тождество (1.15)
(v
0
a
0
+ u
0
b
0
)x
7
+(v
0
a
1
+ v
1
a
0
+ u
0
b
1
+ u
1
b
0
)x
6
+ ...+(v
2
a
5
+ u
4
b
3
) ≡ 1
15
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
