Теория исключения. Калинина Е.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:
v
0
a
0
+u
0
b
0
=0
v
0
a
1
+v
1
a
0
+u
0
b
1
+u
1
b
0
=0
v
0
a
2
+v
1
a
1
+v
2
a
0
+u
0
b
2
+u
1
b
1
+u
2
b
0
=0
... ... ...
v
2
a
5
+u
4
b
3
=1
Получим систему из 8 линейных уравнений для определения 8 коэффициен-
тов v
0
,v
1
,v
2
,u
0
,u
1
,u
2
,u
3
,u
4
. Определитель этой системы (с точностью до
транспонирования и перестановки столбцов) совпадает с результантом. По
предположению, R(f, g) = 0. Cледовательно, система имеет единственное
решение, которое может быть определено по формулам Крамера. Легко по-
казать тождественность этого решения тому, что получено в доказательстве
первой части теоремы. 2
Пример 1.5. Найти полиномы ˜u(x) и ˜v(x), удовлетворяющие тож-
деству (1.14) для f(x)=x
5
− 4 x −2,g(x)=x
3
− 1.
Решение. Разложим по последнему столбцу определитель
˜v(x)=
100 0−4 −20x
2
010 0 0−4 −2 x
001000−41
00001000
000100−10
001 0 0−100
010 0−1000
100−10000
= −18 x
2
+7x − 8 .
Аналогично находим ˜u(x)=18x
4
− 7 x
3
+8x
2
+18x −79,а R(f, g) = 95.
Упражнение 1.6. Найти полиномы ˜u(x) и ˜v(x), удовлетворяющие
тождеству (1.14) для
a) f(x)=x
3
+3x +3,g(x)=x
2
− x −2;
б) f(x)=x
4
,g(x)=x
3
− 3x
2
+4;
в) f(x)=x
5
− x
3
+2x
2
− 2x +2,g(x)=x
4
+2x
3
+7x
2
+2x +6.
Упражнение 1.7. Зная, что полиномы f(x) и g(x) взаимно просты,
методом неопределенных коэффициентов подобрать полиномы ˜u(x) и ˜v(x)
наименьшей степени, удовлетворяющие тождеству (1.15) для
а) f(x)=x
5
,g(x)=(x − 2)
3
;
б) f(x)=x
3
+ x
2
− x −2,g(x)=x
3
− 4x
2
+5x −2.
16

Страницы