Теория исключения. Калинина Е.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 2.1. Полином f(x) имеет кратный корень тогда и только
тогда, когда D(f)=0.
Теорема 2.2. Имеет место равенство
D(f)=a
2n−2
0
1≤j<k≤n
(λ
k
− λ
j
)
2
. (2.2)
Здесь λ
1
,...,λ
n
— корни f(x).
Доказательство . Воспользуемся равенством (1.8) в применении к
случаю g(x) ≡ f
(x):
R(f, f
)=a
n−1
0
n
j=1
f
(λ
j
)=
= a
n−1
0
n
j=1
[a
0
(λ
j
− λ
1
)(λ
j
− λ
2
) ...(λ
j
− λ
j−1
)(λ
j
− λ
j+1
) ...(λ
j
− λ
n
)] .
Последнее произведение содержит n(n −1) сомножителей, причем наряду с
(λ
j
−λ
k
) включает и (λ
k
−λ
j
). Поменяем у половины сомножителей знаки:
R(f, f
)=(−1)
n(n−1)/2
a
2n−1
0
0≤j<k≤n
(λ
k
− λ
j
)
2
.
Из (2.1) тогда следует (2.2). 2
Таким образом, величина D(f) характеризует расстояние между кор-
нями полинома f(x).
Теорема 2.3. Справедлива оценка:
|D(f)|
(2ρ)
n(n−1)/2 −1
|a
0
|
n−1
≤ min
j,k∈{1,...,n}
j=k
|λ
j
− λ
k
|≤
|D(f)|
1/[n(n−1)]
|a
0
|
2/n
.
Здесь ρ
def
=max
j∈{1,...,n}
|a
j
|.
Упражнение 2.2. Доказать, что для вещественности всех корней по-
линома f(x) ∈ R[x] необходимо выполнение условия D(f) ≥ 0.
Упражнение 2.3. Доказать следующие формулы:
а) D(f · g)=D(f)D(g)[R(f, g)]
2
;
б) D(f(x)(x − a)) = D(f(x))[f(a)]
2
;
в) D(f(g(x))) = D(f(x))
m
n
j=1
D(g(x) − λ
j
); здесь a
0
= b
0
=1.
Упражнение 2.4. Пусть f
∗
def
= x
n
f(1/x)=a
n
x
n
+ ...+ a
0
и a
0
=0,
a
n
=0. Доказать, что D(f)=D(f
∗
).
18

Страницы