Составители:
Рубрика:
Упражнение 3.1. Пусть R(f, g)=0и x = c — общий корень f(x)
и g(x). Обозначим f
1
(x)=f(x)/(x − c),g
1
(x)=g(x)/(x − c). Доказать
равенство
R
(1)
(f, g)=R(f
1
,g
1
) . (3.2)
Подсказка. Для случая
f(x)=a
0
x
5
+ a
1
x
4
+ a
2
x
3
+ a
3
x
2
+ a
4
x + a
5
,g(x)=b
0
x
3
+ b
1
x
2
+ b
2
x + b
3
рассуждения будут следующими. Поскольку f(x) ≡ (x−c)f
1
(x),g(x) ≡
≡ (x − c)g
1
(x), то коэффициенты полиномов
f
1
(x)=a
0
x
4
+ a
1
x
3
+ a
2
x
2
+ a
3
x + a
4
,g
1
(x)=b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
можно найти из равенств
a
0
= a
0
,a
j
= a
j
− a
j−1
c, (j =1, 2, 3, 4) ,a
5
= −a
4
c,
b
0
= b
0
,b
j
= b
j
− b
j−1
c, (j =1, 2) ,b
3
= −b
2
c.
Если из каждого столбца результанта
R(f
1
,g
1
)=
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
0
0 a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
000b
0
b
1
b
2
00b
0
b
1
b
2
0
0 b
0
b
1
b
2
00
b
0
b
1
b
2
000
(кроме первого) вычесть предшествующий, домноженный на c, то получим
выражение для R
(1)
(f, g).
Упражнение 3.2. Доказать теорему 3.1.
Следствие 1. При выполнении условия теоремы 3.1 единственный об-
щий корень рационально выражается через коэффициенты полиномов f(x)
и g(x):
c = −
det M
(1)
1
R
(1)
(f, g)
. (3.3)
Здесь матрица M
(1)
1
получается из M
(1)
заменой последнего ее столбца на
[0,...,0,
m−2
a
n
,b
m
, 0,...,0
n−2
]
t
.
Пример 3.1. Найти общий корень полиномов
f(x)=x
2
− 4 x − 5 и g(x)=x
2
− 7 x +10 .
20
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
