Теория исключения. Калинина Е.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Общий корень f(x)иg(x)существует,поскольку
R(f, g)=
1 −4 −50
01−4 −5
01−710
1 −710 0
=0 .
Имеем далее:
R
(1)
(f, g)=
1 −4
1 −7
= −3 =0, det M
(1)
1
=
1 −5
110
=15 .
По формуле (3.3), получаем: c = −
15
−3
=5.
Пусть теперь R(f, g)=0, R
(1)
(f, g) = 0. Тогда у полиномов f(x)иg(x)
имеется, по крайней мере, два общих корня c
1
и c
2
.
Оба эти корня должны удовлетворять уравнениям (3.1). Рассмотрим
подсистему (субсистему) системы (3.1), вычеркнув первое и последнее
уравнения и считая c равным c
1
или c
2
:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
a
0
c
5
+a
1
c
4
+a
2
c
3
+a
3
c
2
+a
4
c+a
5
=0 ,
b
0
c
3
+b
1
c
2
+b
2
c+b
3
=0 ,
b
0
c
4
+b
1
c
3
+b
2
c
2
+b
3
c =0 ,
b
0
c
5
+b
1
c
4
+b
2
c
3
+b
3
c
2
=0 .
Запишем эти уравнения в матричной форме:
⎛
⎜
⎜
⎝
a
0
a
1
a
2
a
3
00b
0
b
1
0 b
0
b
1
b
2
b
0
b
1
b
2
b
3
⎞
⎟
⎟
⎠

M
2
⎛
⎜
⎜
⎝
c
5
c
4
c
3
c
2
⎞
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎝
−a
4
c −a
5
−b
2
c − b
3
−b
3
c
0
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Пусть det M
2
= 0. Тогда, по теореме Крамера, существует единствен-
ное решение этой системы, и c
2
должно удовлетворять уравнению
c
2
=
a
0
a
1
a
2
−a
4
c −a
5
b
0
−b
2
c −b
3
b
0
b
1
−b
3
c
b
0
b
1
b
2
det M
2
,
откуда получаем следующее квадратное уравнение, которому должны удов-
летворять c
1
и c
2
:
a
0
a
1
a
2
a
3
00b
0
b
1
0 b
0
b
1
b
2
b
0
b
1
b
2
b
3
c
2
+
a
0
a
1
a
2
a
4
00b
0
b
2
0 b
0
b
1
b
3
b
0
b
1
b
2
0
c +
a
0
a
1
a
2
a
5
00b
0
b
3
0 b
0
b
1
0
b
0
b
1
b
2
0
=0 . (3.4)
21

Страницы