Теория исключения. Калинина Е.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Определение. Определитель матрицы M
2
, получаемой из матрицы M
вычеркиванием двух первых и двух последних столбцов, двух первых и двух
последних строк, называется вторым субрезультантом полиномов f и g
и обозначается R
(2)
(f, g).
Теорема 3.2. Для того чтобы f(x) и g(x) имели в точности два общих
корня, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
R(f, g)=R
(1)
(f, g)=0, R
(2)
(f, g) =0 .
Упражнение 3.3. Доказать теорему, используя результат упражне-
ния 3.1.
Следствие 1. При условии теоремы 3.2 оба корня должны удовлетво-
рять квадратному уравнению
x
2
R
(2)
(f, g)+x det M
(1)
2
+detM
(2)
2
=0 . (3.5)
Здесь матрицы M
(1)
2
и M
(2)
2
получаются из M
2
заменой последнего ее столб-
ца на
[0,...,0

m−4
,a
n
,a
n−1
,b
m−1
,b
m
, 0,...,0

n−4
]
t
и [0,...,0

m−3
,a
n
,b
m
, 0,...,0

n−3
]
t
соответственно. Полином, стоящий в левой части уравнения (3.5),явля-
ется НОД (f, g).
Определение. Определитель матрицы M
k
, получаемой из матрицы M
вычеркиванием k первых и k последних столбцов, k первых и k последних
строк, называется k-м субрезультантом полиномов f и g и обозначается
R
(k)
(f, g). Для однообразия будем считать нулевым субрезультантом опре-
делитель матрицы M: R
(0)
(f, g)
def
=detM =(−1)
n(n−1)/2
R(f, g).
Пример 3.2.
R
(3)
(a
0
x
5
+a
1
x
4
+a
2
x
3
+a
3
x
2
+a
4
x+a
5
,b
0
x
3
+b
1
x
2
+b
2
x+b
3
)=
=
0 b
0
b
0
b
1
= − b
2
0
.
Упражнение 3.4. Доказать, что при n>m
R
(k)
(f, g)=(−1)
(m+n−2k)(m+n−2k−1)/2
b
m+n−2k
0
для k = m,...,(m + n)/2.
Обобщая результаты теорем 3.1 и 3.2, приходим к следующему резуль-
тату.
22

Страницы