Теория исключения. Калинина Е.А - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

последний столбец представляем в виде линейной комбинации остальных:
= f(x)
a
0
a
1
a
2
1
00b
0
0
0 b
0
b
1
0
b
0
b
1
b
2
0
+ g(x)
a
0
a
1
a
2
0
00b
0
1
0 b
0
b
1
x
b
0
b
1
b
2
x
2
−
a
0
a
1
a
2
a
4
x + a
5
00b
0
b
2
x + b
3
0 b
0
b
1
b
3
x
b
0
b
1
b
2
0
.
Если перенести последний определитель в левую часть (т.е. к x
2
R
(2)
), то
слева получим выражение для НОД (f, g) (см. формулу (3.4)); в правой же
части коэффициенты при f(x)иg(x) будут равны соответственно полино-
мам v(x)иu(x) из тождества (1.13).
Упражнение 3.6. Найти НОД (f, g) для
а) f(x)=x
4
− x
3
− x
2
+1,g(x)=x
4
− 2 x
3
+2x
2
− 2 x +1;
б) f(x)=x
3
+5x
2
+5x +4,g(x)=x
3
− x
2
− x − 2;
в) f(x)=x
3
− 4 x
2
+4x − 3,g(x)=3x
4
− 2 x
3
+4x
2
− x +2;
г) f(x)=2x
3
+5x
2
− 6 x − 9,g(x)=3x
3
+7x
2
− 11 x − 5.
Упражнение 3.7. При каком условии полиномы
a
0
x
4
+ a
1
x
3
+ a
2
x
2
+ a
3
x + a
4
и b
0
x
4
+ b
1
x
3
+ b
2
x
2
+ b
3
x + b
4
имеют общий делитель второй степени? Найти его вид.
Упражнение 3.8. Известно, что кубические уравнения
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
=0и x
3
+ b
1
x
2
+ b
2
x + b
3
=0
имеют два общих корня. Найти квадратное уравнение, которому эти корни
удовлетворяют, и определить третий корень каждого из кубических урав-
нений.
Рассмотрим теперь частный случай g(x) ≡ f
(x). Теорема 3.3 позво-
ляет установить наличие d общих корней у полинома и его производной,
т.е. наличие d кратных корней у f(x) — с учетом их кратностей. Двойные
корни полинома f(x) оказываются простыми корнями D(x)=НОД (f, f
),
корни же кратностей больших двух становятся кратными корнями D(x), но
кратность их понижается на единицу, и для их поиска можно снова приме-
нить теорему 3.3 — теперь уже для поиска НОД (D, D
).
Упражнение 3.9. Имеет ли полином кратные корни? Если да, найти
их кратности
а) f(x)=x
4
− x
3
− 104x
2
+ 514x − 720;
б) f(x)=x
4
− x
3
− 30x
2
− 76x −56;
в) f(x)=x
4
+ x
3
− 2x
2
+4x − 24;
г) f(x)=x
5
+ x
4
− 2x
3
− 2x
2
+ x +1;
д) f(x)=2x
6
+6x
5
+6x
4
+ x
3
− 3x
2
− 3x −1.
24

Страницы