Составители:
Рубрика:
есть частное от деления g(x)наf(x). Коэффициенты c
k
определяются через
коэффициенты полинома g(x) и разложения (4.1). Так, при m ≥ n получаем:
c
n−m−1
= b
0
d
n−1
,c
n−m
= b
0
d
n
+ b
1
d
n−1
, ...
c
k
=
!
d
k+m
b
0
+ d
k+m−1
b
1
+ ...+ d
n−1
b
k+m−n+1
, если k<n ;
d
k+m
b
0
+ d
k+m−1
b
1
+ ...+ d
k
b
m
, если k ≥ n .
(4.4)
Вслучаеm<nимеем c
k
=0дляk<n− m − 1, а при k ≥ n − m − 1
справедливы формулы (4.4).
Упражнение 4.1. Найти формулы, непосредственно выражающие ко-
эффициенты разложения (4.2) через коэффициенты полиномов f(x) и g(x).
Подсказка. Домножить обе части разложения (4.2) на f(x)исравнить
коэффициенты при одинаковых степенях x.Так,дляn =5,m=3получаем
0=c
0
a
0
,b
0
= c
0
a
1
+ c
1
a
0
,b
1
= c
0
a
2
+ c
1
a
1
+ c
2
a
0
,
b
2
= c
0
a
3
+ c
1
a
2
+ c
2
a
1
+ c
3
a
0
,b
3
= c
0
a
4
+ c
1
a
3
+ ...+ c
4
a
0
,
0=c
k−5
a
5
+ c
k−4
a
4
+ ...+ c
k
a
0
(k ≥ 5) . (4.5)
Теорема 4.1. Доказать, что при условии различности всех корней
λ
1
,...,λ
n
полинома f(x), имеет место равенство
c
k
=
n
"
j=1
λ
k
j
g(λ
j
)
f
(λ
j
)
(k ≥ 0) . (4.6)
Доказательство . Без ограничения общности можно считать, что
m<n. Воспользуемся формулой Лагранжа:
g(x)
f(x)
=
n
"
j=1
g(λ
j
)
f
(λ
j
)(x − λ
j
)
. (4.7)
Заменив здесь каждую дробь 1/(x − λ
j
) ее разложением по степеням 1/x
1
x − λ
j
=
1
x
#
1+
λ
j
x
+
λ
2
j
x
2
+ ...
$
и собрав коэффициенты при одинаковых степенях x, получим требуемое
выражение для коэффициентов c
k
. 2
26
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
