Теория исключения. Калинина Е.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Упражнение 3.10. При каких значениях параметров полиномы имеют
а) двойной корень: px
3
+ p
2
x
2
+ x + p; x
5
+ px
4
+ q;
б) тройной корень: x
4
+ px
3
+2x + q;
в) только два различных корня: x
4
+4x
3
− 2x
2
+ px + q?
4 Метод Кронекера
Как уже отмечалось в §1.2, вычисление результанта посредством его
представления в форме определителя матрицы Сильвестра (1.3) не эффек-
тивно — особенно при больших степенях полиномов f(x)иg(x). Однако,
использование простоты структуры матрицы (1.3) (в частности, ее разре-
женность — т.е. наличие большого числа нулевых элементов) позволяет
уменьшить порядок определителя с deg f +degg до max(deg f, deg g). В
настоящем и следующем параграфах мы обсудим детерминантные формы
представления результанта, альтернативные форме Сильвестра.
Для полиномов из A[x]:
f(x)=a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ...+ a
n
и g(x)=b
0
x
m
+ b
1
x
m−1
+ ...+ b
m
(a
0
=0,b
0
= 0) построим сначала формальное разложение дроби g(x)/f(x)
в ряд по отрицательным степеням x. Для этого удобно предварительно по-
строить разложение дроби 1/f(x):
1
f(x)
=
d
n−1
x
n
+
d
n
x
n+1
+ ...+
d
k
x
k+1
+ ... (4.1)
Домножив обе части разложения (4.1) на f(x) и приравняв затем коэффи-
циенты при одинаковых степенях x, получим рекуррентные формулы для
определения коффициентов d
k
:
d
n−1
=1/a
0
,d
n
= −(d
n−1
a
1
)/a
0
, ...
d
k
=
!
−(d
k−1
a
1
+ d
k−2
a
2
+ ...+ d
n−1
a
k−n+1
)/a
0
, если k ≤ n ;
−(d
k−1
a
1
+ d
k−2
a
2
+ ...+ d
k−n
a
n
)/a
0
, если k>n .
Если домножить теперь разложение (4.1) на полином g(x), то получим
требуемое разложение
g(x)
f(x)
= L(x)+
c
0
x
+
c
1
x
2
+ ...+
c
k
x
k+1
+ ... , (4.2)
где полином
L(x)
def
=
!
c
n−m−1
x
m−n
+c
n−m
x
m−n−1
+ ...+c
−1
, если m ≥ n ;
0, если m<n
(4.3)
25

Страницы