Теория исключения. Калинина Е.А - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Вычислим величины c
0
,...,c
2n−2
и cоставим ганкелеву матрицу
C =[c
j+k
]
n−1
j,k=0
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
c
0
c
1
c
2
... c
n−1
c
1
c
2
c
3
... c
n
c
2
c
3
c
4
... c
n+1
... ...
c
n−1
c
n
c
n+1
... c
2n−2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
. (4.8)
Обозначим через C
j
ее j-й главный минор.
Теорема 4.2 (Кронекер). a) Справедливо равенство
C
n
=detC = R(f,g)/a
n+m
0
.
б) Степень НОД (f, g) равна d тогда и только тогда, когда
C
n
= C
n−1
= ...= C
n−d+1
=0,C
n−d
=0 .
В этом случае НОД (f, g) равен определителю, получающемуся из C
n−d
за-
меной последнего столбца на столбец
⎡
⎣
n
"
j=n−d
c
j−1
f
j
(x),
n
"
j=n−d
c
j
f
j
(x),...,
n
"
j=n−d
c
j+n−d−2
f
j
(x)
⎤
⎦
t
.
Здесь f
k
(x)
def
= a
0
x
n−k
+ a
1
x
n−k−1
+ ...+ a
n−k
, а старший коэффициент
НОД (f, g) равен a
0
C
n−d
.
в) Если n>m, то полиномы v(x) и u(x), дающие линейное представ-
ление НОД (f, g) (см. формулу (1.13)), получаются из C
n−d
заменой в нем
последнего столбца на
0, −P
0
(x),...,−P
n−d−2
(x)
t
и
1,x,...,x
n−d−1
t
соответственно. Здесь P
k
(x)
def
= c
0
x
k
+ ...+ c
k
.
Пример 4.1. Доказать справедливость следующего соотношения, свя-
зывающего C
n−k
и k-й субрезультант полиномов f и g (k ≤ n):
a
n+m−2k
0
C
n−k
= R
(k)
. (4.9)
Решение. Докажем (4.9) для случая n =5,m =3,k =2. Составим
следующее произведение:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
01
00c
0
c
1
c
2
0 c
0
c
1
c
2
c
3
c
0
c
1
c
2
c
3
c
4
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
·
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
0
a
1
a
2
a
3
a
0
a
1
a
2
a
0
a
1
a
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
27

Страницы