Теория исключения. Калинина Е.А - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Определитель этого произведения равен произведению определителей, т.е.
C
3
a
5
0
. С другой стороны, выполнив умножение с учетом формул (4.5), по-
лучаем матрицу
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
0
a
1
a
2
a
3
b
0
b
1
b
0
b
1
b
2
b
0
b
1
b
2
b
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
определитель которой равен a
0
R
(2)
.
Упражнение 4.2. Доказать справедливость утверждений б) и в) тео-
ремы Кронекера, пользуясь теоремой 3.3.
Подсказка. Идею доказательства части в) поясним для частного слу-
чая d =0,т.е. приНОД (f, g) ≡ const. В соответствии с утверждением
теоремы, ищем коэффициенты полиномов
u(x)
def
= u
0
x
n−1
+ ...+ u
n−1
и v(x)
def
= v
0
x
n−1
+ ...+ v
n−2
,
удовлетворяющих тождеству v(x) f(x)+u(x) g(x) ≡ a
0
C
n
. Разделим это
тождество на f(x) и разложим обе части в ряды с использованием разложе-
ний (4.1) и (4.2):
v(x)+u(x)
%
c
0
x
+
c
1
x
2
+ ···
&
≡ a
0
C
n
d
n−1
x
n
+
d
n
x
n+1
+ ···
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему
линейных уравнений относительно u
n−1
,...,u
0
:
x
−1
: c
0
u
n−1
+c
1
u
n−2
+ ...+c
n−1
u
0
=0 ,
... ... ...
x
−n+1
: c
n−2
u
n−1
+c
n−1
u
n−2
+ ...+c
2n−3
u
0
=0 ,
x
−n
: c
n−1
u
n−1
+c
n
u
n−2
+ ...+c
2n−2
u
0
= C
n
.
Решив эту систему по формулам Крамера, получим выражения для коэффи-
циентов u
0
,...,u
n−1
; они совпадают с указанными в теореме. Аналогично
x
n−2
: v
0
+u
0
c
0
=0 ,
x
n−3
: v
1
+u
0
c
1
+u
1
c
0
=0 ,
... ...
1:v
n−2
+u
0
c
n−2
+u
1
c
n−3
+ ...+u
n−2
c
0
=0 .
(4.10)
Используя полученные выше выражения для u
0
,...,u
n−1
,можновыписать
выражения v
0
,...,v
n−2
в виде определителей и показать затем тождествен-
ность получившихся детерминантных представлений тем, что указаны в
28

Страницы