Теория исключения. Калинина Е.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим теперь частный случай g(x) ≡ f
(x).
Коэффициенты разложения
f
(x)
f(x)
=
s
0
x
+
s
1
x
2
+ ...+
s
k
x
k+1
+ ... (4.11)
называются суммами Ньютона полинома f(x).
Упражнение 4.4. Доказать, что s
k
=
n
"
j=1
λ
k
j
.
Упражнение 4.5. Доказать справедливость следующих рекуррентных
формул Ньютона:
s
0
= n, s
1
= −a
1
/a
0
, ...
s
k
=
!
−(a
1
s
k−1
+ a
2
s
k−2
+ ...+ a
k−1
s
1
+ a
k
k)/a
0
, если k ≤ n ;
−(a
1
s
k−1
+ a
2
s
k−2
+ ...+ a
n
s
k−n
)/a
0
, если k>n .
(4.12)
Вычислим величины s
0
,...,s
2n−2
и составим из них — по аналогии с
матрицей (4.8) — ганкелеву матрицу
S =[s
j+k
]
n−1
j,k=0
. (4.13)
Обозначим через S
j
ее j-й главный минор.
Упражнение 4.6. Доказать, что
S
n
= D(f)/a
2n−2
0
.
Упражнение 4.7. Доказать справедливость формулы
S
p
=
"
v(λ
j
1
,...,λ
j
p
)
2
,
где суммирование идет по всем возможным наборам индексов (j
1
,...,j
p
),
1 ≤ j
1
<j
2
<...<j
p
≤ n,а
v(λ
j
1
,...,λ
j
p
)
def
=
1≤K<L≤p
(λ
j
L
− λ
j
K
) . (4.14)
Если, вдобавок, предположить, что все корни f(x) простые, то
S
n−1
=
D(f)
a
2n−4
0
n
"
j=1
1
f
(λ
j
)
2
.
30

Страницы