Теория исключения. Калинина Е.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Подсказка. Показать, что S
p
=det(V
p
· V
t
p
), где
V
p
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
111... 1
λ
1
λ
2
λ
3
... λ
n
λ
2
1
λ
2
2
λ
2
3
... λ
2
n
... ...
λ
p−1
1
λ
p−1
2
λ
p−1
3
... λ
p−1
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
и воспользоваться теоремой Бине–Коши для вычисления определителя про-
изведения матриц.
Упражнение 4.8. Доказать, что для вещественности всех корней по-
линома f(x) ∈ R[x] необходимо, чтобы S
1
≥ 0,...,S
n
≥ 0.
Упражнение 4.9. Доказать, что при условии отсутствия кратных
корней у полинома f(x) справедлива следующая формула:
C
p
=
"
v(λ
j
1
,...,λ
j
p
)
2
g(λ
j
1
)
f
(λ
j
1
)
× ...×
g(λ
j
p
)
f
(λ
j
p
)
,
где суммирование идет по всем возможным наборам индексов (j
1
,...,j
p
),
1 ≤ j
1
<j
2
<...<j
p
≤ n, а функция v определяется формулой (4.14).Если,
вдобавок, R(f, g) =0,то
C
n−1
=(−1)
n(n−1)/2
R(f, g)
a
m+n−2
0
n
"
j=1
1
g(λ
j
)f
(λ
j
)
.
Подсказка. Воспользоваться формулой (4.6) и подсказкой к упражне-
нию 4.7.
5 Метод Безу
3
Рассмотрим снова полиномы из A[x]:
f(x)=a
0
x
n
+ ...+ a
n
и g(x)=b
0
x
m
+ ...+ b
m
(a
0
=0,b
0
=0) .
Найдем остатки от деления x
k
g(x)наf(x)дляk =0,...,n− 1:
g
k
(x)
def
= b
k0
x
n−1
+ b
k1
x
n−2
+ ...+ b
k,n−1
.
Коэффициенты g
k
(x) могут быть выражены через коэффициенты g
k−1
(x)
по формулам
b
kj
= b
k−1,j+1
− b
k−1,0
a
j+1
/a
0
(j =0,...,n− 1) . (5.1)
3
Название метода условное, помимо Безу в его разработке принимали участие Эйлер,
Коши, Эрмит и Кэли.
31

Страницы