Теория исключения. Калинина Е.А - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
b
00
b
01
b
02
b
03
b
10
b
11
b
12
b
13
b
20
b
21
b
22
b
23
b
30
b
31
b
32
b
33
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Переходя в этом равенстве к определителям, получаем R
(1)
= a
2
0
B
4
.
Для доказательства справедливости пункта в) теоремы следует вос-
пользоваться результатом соответствующего пункта из теоремы 3.3. Сна-
чала устанавливается справедливость равенств
x
k
g(x)=P
k−1
(x)f(x)+g
k
(x), (k =0,...,n− d − 1) при P
−1
(x) ≡ 0 ,
т.е. показывается, что полином P
k−1
(x) является частным от деления x
k
g(x)
на f(x). Если теперь домножить k-е равенство на алгебраическое дополне-
ние к элементу определителя B
n−d
, стоящему в последнем столбце и k-й
строке и просуммировать получившиеся произведения, то на основании
свойства разложения определителя по столбцу и результата части б) тео-
ремы получим требуемое утверждение. 2
Пример 5.1. Для полиномов
f(x)=x
6
− 5x
5
+ x
4
− 3x
3
− 5x
2
+ x +1и g(x)=x
5
− 5x
4
+ x
3
− 4x
2
+1
найти НОД (f,g) и его линейное представление.
Решение. Составим матрицу B:
B =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 −51−401
00−150−1
0 −150−10
−150−100
01−4 −511
1 −4 −5110
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Поскольку B
6
= B
5
= B
4
=0,B
3
= −1, то НОД имеет степень 3. На
основании пункта б) теоремы 5.1:
НОД (f, g)=
1 −51·x
3
− 4 ·x
2
+0· x +1
00−1 ·x
3
+5· x
2
+0· x − 1
0 −15·x
3
+0· x
2
− 1 ·x +0
= −x
3
+5x
2
− 1 .
Полиномы u(x)иv(x), дающие линейное представление НОД , находим по
алгоритму пункта в) теоремы:
u(x)=
1 −51
00x
0 −1 x
2
= x, v(x)=
1 −50
00−1
0 −1 −x +5
= −1 .
33

Страницы