Теория исключения. Калинина Е.А - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Упражнение 5.2. Показать, что безутианта — симметричная мат-
рица, т.е. b
jk
= b
kj
.
Упражнение 5.3. Доказать, что величины b
jk
могут быть получены
как коэффициенты полинома от двух переменных:
f(x)g(y) − f(y)g(x)
x −y
=
n−1
"
j,k=0
b
jk
x
n−j−1
y
n−k−1
.
Теорема 5.2. Для слyчая полиномов одинаковой степени n безyтианта
может быть полyчена в виде:
B =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
b
1
b
2
... b
n−1
b
n
b
2
b
3
... b
n
...
.
.
.
b
n−1
b
n
O
b
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
0
a
1
... a
n−2
a
n−1
a
0
a
1
... a
n−2
.
.
.
O a
0
a
1
a
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
−
−
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
n
a
n−1
... a
2
a
1
a
n
... a
2
.
.
.
O a
n
a
n−1
a
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
b
0
O b
0
b
1
.
.
.
b
0
b
1
... b
n−2
b
0
b
1
... b
n−2
b
n−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
т.е., фактически, перемножением n × n-блоков, составляющих матрицу
Сильвестра (1.3):
M =
A
0
A
1
B
0
B
1
с транспонированием одного из них:
B = B
1
A
0
− A
t
1
B
0
. (5.8)
Доказательство проводится вычислением элементов матрицы (5.8) и
их сравнением с представлением (5.7). Мы же покажем здесь как можно
установить справедливость вытекающего из (5.8) детерминантного равен-
ства:
det M =det(B
1
A
0
− A
t
1
B
0
) .
В самом деле, заметим, что матрица A
0
— невырожденная и что B
0
и B
1
—
симметричные. Выпишем для определителя блочной матрицы M равенство
Шура [14]:
det M =detA
0
det(B
1
− B
0
A
−1
0
A
1
) .
Отсюда:
det M =detA
t
0
det(B
1
− B
0
A
−1
0
A
1
)=det(A
t
0
B
1
− A
t
0
B
0
A
−1
0
A
1
)=
=det(A
t
0
B
1
− B
0
A
0
A
−1
0
A
1
)=det(A
t
0
B
1
− B
0
A
1
)=det(B
1
A
0
− A
t
1
B
0
) ,
35

Страницы