Составители:
Рубрика:
Из этого примера видим, что степени полиномов u(x)иv(x) могут быть
строго меньшими указанных для них границ.
Следующая модификация метода более распространена. Рассмотрим
сначала случай deg f =degg = n. Возьмем в качестве g
k
(x) вместо остатка
от деления x
k
g(x)наf(x) остаток от деления (a
0
x
k
+ a
1
x
k−1
+ ...+ a
k
)g(x)
на f(x).
Упражнение 5.1. Доказать справедливость тождества
g
k
(x) ≡ F
k
(x)g(x) −G
k
(x)f(x) , (5.5)
где F
k
(x)
def
= a
0
x
k
+ a
1
x
k−1
+ ...+ a
k
,G
k
(x)
def
= b
0
x
k
+ b
1
x
k−1
+ ...+ b
k
.
Вычислим g
k
(x)дляk =0,...,n− 1:
g
k
(x)=b
k0
x
n−1
+ b
k1
x
n−2
+ ...+ b
k,n−1
,
составим матрицу B из этих коэффициентов
B =[b
kj
]
n−1
k,j=0
(5.6)
и обозначим через B
j
ее j-й главный минор.
Определение. Mатрица B, определяемая формулой (5.6), называется
безутиантой
4
полиномов f(x)иg(x).
Замечание. Вслучаеdeg(g)=m<deg(f)=n безутианта строится
для полиномов f(x)иx
n−m
g(x).
Пример 5.2. Доказать, что
b
kj
= d
0,k+j+1
+ d
1,k+j
+ ...+ d
k,j+1
, (5.7)
где d
ij
= a
i
b
j
− a
j
b
i
, в предположении, что b
j
=0при j>m, a
k
=0при
k>n.
Решение. Для n = 3 равенства (5.5) принимают следующий вид:
a
0
(b
0
x
3
+ b
1
x
2
+ b
2
x + b
3
)−b
0
(a
0
x
3
+ a
2
x
2
+ a
3
x + a
4
)=
=(a
0
b
1
− a
1
b
0
)x
2
+(a
0
b
2
− a
2
b
0
)x +(a
0
b
3
− a
3
b
0
) ,
(a
0
x+a
1
)(b
0
x
3
+b
1
x
2
+b
2
x+b
3
)−(b
0
x+b
1
)(a
0
x
3
+a
2
x
2
+a
3
x+a
4
)=
=(a
0
b
2
− a
2
b
0
)x
2
+(a
0
b
3
− a
3
b
0
+a
1
b
2
− a
2
b
1
)x +(a
1
b
3
− a
3
b
1
) ,
(a
0
x
2
+ a
1
x + a
2
)(b
0
x
3
+ b
1
x
2
+ b
2
x + b
3
)−
−(b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
)(a
0
x
3
+ a
2
x
2
+ a
3
x + a
4
)=
=(a
0
b
3
− a
3
b
0
)x
2
+(a
1
b
3
− a
3
b
1
)x +(a
2
b
3
− a
3
b
2
) .
Отсюда легко следуют равенства (5.7).
4
Иногда под безутиантой понимают det B.
34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
