Составители:
Рубрика:
Составим матрицу из этих коэффициентов:
B =[b
kj
]
n−1
k,j=0
(5.2)
и обозначим через B
j
ее j-й главный минор.
Теорема 5.1. a) Справедливо равенство
B
n
def
=detB =(−1)
n(n−1)/2
R(f, g)/a
m
0
. (5.3)
б) Степень НОД (f, g) равна d тогда и только тогда, когда
B
n
= B
n−1
= ...= B
n−d+1
=0,B
n−d
=0 .
В этом случае НОД (f,g) равен определителю, получающемуся из B
n−d
за-
меной в нем последнего столбца на
⎡
⎣
n−1
"
j=n−d−1
b
0j
x
n−j−1
,
n−1
"
j=n−d−1
b
1j
x
n−j−1
, ...,
n−1
"
j=n−d−1
b
n−d−1,j
x
n−j−1
⎤
⎦
t
.
Cтарший коэффициент НОД (f, g) равен B
n−d
.
в) Если n>m, то полиномы v(x) и u(x), дающие линейное представ-
ление НОД (f,g) (см. формулу (1.13)), получаются из B
n−d
заменой в нем
последнего столбца на
0, −P
0
(x),...,−P
n−d−2
(x)
t
и
1,x,...,x
n−d−1
t
соответственно. Здесь P
k
(x)
def
=(b
00
x
k
+ b
1,0
x
k−1
+ ...+ b
k,0
)/a
0
.
Доказательство пунктов a) и б) следует из теоремы 3.3 и следующего
соотношения, связывающего B
n−k
и k-й субрезультант полиномов f и g:
a
m−k
0
B
n−k
= R
(k)
(k ≤ n) . (5.4)
Установим справедливость соотношения (5.4) для случая n =5,m=3и
k = 1. Для элементов первых двух строк матрицы B имеем следующие
формулы:
b
00
=0,b
01
= b
10
= b
0
,b
02
= b
11
= b
1
,b
03
= b
12
= b
2
,
b
04
= b
13
= b
3
,b
14
=0 ;
элементы остальных строк получаются по формулам (5.1). Тогда справед-
ливо следующее матричное равенство:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
01
001
0001
0 −b
10
/a
0
001
−b
10
/a
0
−b
20
/a
0
0001
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
·
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
b
0
b
1
b
2
b
0
b
1
b
2
b
3
b
0
b
1
b
2
b
3
b
0
b
1
b
2
b
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
32
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
