Теория исключения. Калинина Е.А - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

если только мы установим, что A
t
0
B
0
= B
0
A
0
. А это проверяется легко. 2
Теорема 5.3. Пусть deg f =degg = n. Для безутианты, определяемой
формулой (5.6), справедливы следующие утверждения:
a) B
n
=detB =(−1)
n(n−1)/2
R(f, g).
б) Степень НОД (f, g) равна d тогда и только тогда, когда
B
n
= B
n−1
= ...= B
n−d+1
=0, B
n−d
=0 .
В этом случае НОД (f, g) равен определителю, получающемуся из B
n−d
за-
меной последнего столбца на столбец
⎡
⎣
n−1
"
j=n−d−1
b
0j
x
n−j−1
,
n−1
"
j=n−d−1
b
1j
x
n−j−1
,...,
n−1
"
j=n−d−1
b
n−d−1,j
x
n−j−1
⎤
⎦
t
.
Cтарший коэффициент НОД (f,g) равен B
n−d
.
в) Полиномы v(x) и u(x), дающие линейное представление НОД (f, g)
(см. формулу (1.13)), получаются из B
n−d
заменой в нем последнего столбца
на
[−b
0
, −b
0
x − b
1
,...,−b
0
x
n−d−1
− b
1
x
n−d−2
− ...− b
n−d−1
]
t
и
[a
0
,a
0
x + a
1
,...,a
0
x
n−d−1
+ a
1
x
n−d−2
+ ...+ a
n−d−1
]
t
соответственно.
Теорема 5.4. Справедливо соотношение, связывающее главный минор
B
k
безутианты с субрезультантом:
B
n−k
= R
(k)
(k ≤ n) . (5.9)
Доказательство формулы (5.9) проведем для случая n =5,k =2.
Составим следующее произведение:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
01
001
00−b
0
a
0
0 −b
0
−b
1
a
1
a
0
−b
0
−b
1
−b
2
a
2
a
1
a
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
·
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
0
a
1
a
2
a
3
b
0
b
1
b
2
b
3
b
0
b
1
b
2
b
3
b
4
b
0
b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Определитель этого произведения равен произведению определителей, т.е.
a
3
0
R
(2)
. С другой стороны, выполнив перемножение с учетом формул (5.7),
получаем матрицу
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
0
a
1
a
2
a
3
b
00
b
01
b
02
b
1,0
b
1,1
b
1,2
b
2,0
b
2,1
b
2,2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
36

Страницы