Теория исключения. Калинина Е.А - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно, в качестве искомого полинома G(x) можно взять полином
g
1
(x)˜u(x)/R(f, g). Легко видеть, что наряду с полиномом G(x) полином
G(x)+q(x)f(x), где q(x) — произвольный полином из A [x], тоже дает реше-
ние поставленной задачи. Взяв в качестве G(x) остаток от деления g
1
(x)˜u(x)
на f(x)иподеливегонаR(f, g), получим полином с указанным в теореме
ограничением на степень. Результант и полином ˜u(x) можно искать с по-
мощью любой из теорем 1.2, 4.2, 5.1, 5.3, а также методом неопределенных
коэффициентов. 2
Упражнение 6.1. Доказать единственность полинома G(x) при вы-
полнении условия deg G<n.
Пример 6.1. Уничтожить иррациональность в знаменателе выраже-
ния
λ
λ
3
− 1
, где λ — корень полинома x
5
− 4x − 2 .
Решение. Из решения примера 1.5 имеем:
˜u(x)=18x
4
− 7 x
3
+8x
2
+18x − 79, R(f, g)=95 .
Воспользуемся теперь алгоритмом из доказательства теоремы 6.1:
G(x)=(18x
5
− 7 x
4
+8x
3
+18x
2
− 79 x)/95 .
Если поделить G(x)наf(x), то остаток от деления
G
1
(x)=(−7x
4
+8x
3
+18x
2
− 7x + 36)/95
также является решением задачи — причем единственным среди полиномов
степеней меньших 5.
Упражнение 6.2. Уничтожить иррациональность в знаменателе вы-
ражений
a) λ/(λ − 1),гдеλ — корень полинома x
3
− 2x −2;
б) 1/(λ
3
+3λ
2
+3λ +2),гдеλ — корень полинома x
4
+ x
3
−4 x
2
−3 x +2.
6.2 Преобразование Чирнгауза
Задача. Пусть даны два полинома из A[x]:
f(x)=a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ...+ a
n
,g(x)=b
0
x
m
+ b
1
x
m−1
+ ...+ b
m
(a
0
=0,b
0
= 0); обозначим λ
1
,...,λ
n
(неизвестные нам) корни f(x). По-
строить полином F (y), имеющий корни g(λ
1
),...,g(λ
n
). Нахождение этого
полинома называется преобразованием Чирнгауза y = g(x) полинома
f(x).
38

Страницы