Теория исключения. Калинина Е.А - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Требуется подобрать b
1
и b
2
так, чтобы коэффициенты c
1
и c
2
обратились
в нуль. Получаем систему из двух уравнений относительно b
1
и b
2
:пер-
вое из них — линейное, второе — квадратное. Эта система разрешима в
радикалах:
b
1
=
2 a
3
1
− 7 a
1
a
2
+9a
3
±
−3D(f)
2(a
2
1
− 3 a
2
)
, (6.1)
а b
2
выражается через b
1
по формуле
b
2
=
a
1
b
1
− a
2
1
+2a
2
3
. (6.2)
Здесь D(f)=−27 a
2
3
+18a
1
a
2
a
3
−4 a
3
1
a
3
+ a
2
1
a
2
2
−4 a
3
2
, т.е. является дискри-
минантом кубического полинома (см. упражнение 2.1, б)); предполагается
также, что a
2
1
− 3 a
2
= 0. Итак, преобразование Чирнгауза при указанных
значениях параметров b
1
и b
2
дает полином y
3
+ c
3
(здесь в приведенное
выше выражение для c
3
также следует подставить полученные выражения
для b
1
и b
2
).
Только что решенный пример позволяет ответить на вопрос: зачем
нужно преобразование Чирнгауза? Именно, это преобразование иногда позво-
ляет решать алгебраические уравнения в радикалах. В самом деле, уравне-
ние y
3
+ c
3
= 0 можно решить в радикалах; если обозначить µ
1
,µ
2
и µ
3
его
корни, то корни исходного кубического уравнения x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
=0
получатся как решения квадратных уравнений λ
2
+ b
1
λ + b
2
= µ
j
при b
1
и
b
2
заданных формулами (6.1) и (6.2).
Упражнение 6.3. Найти преобразование Чирнгауза, позволяющее ре-
шить в радикалах уравнение x
3
+ a
1
x
2
+
1
/
3
a
2
1
x + a
3
=0.
Упражнение 6.4. Считая теперь доказанным факт разрешимости ку-
бического уравнения в радикалах, придумать способ решения в радикалах
уравнения x
4
+ a
1
x
3
+ a
2
x
2
+ a
3
x + a
4
=0с помощью преобразования Чирн-
гауза вида y = x
2
+ b
1
x + b
2
.
Фактическое построение преобразования возможно любым из методов
нахождения результанта. Следующий способ построения преобразования
Чирнгауза является развитием метода Безу (см. §5).
Найдем остатки от деления x
k
g(x)наf(x)дляk =0, 1,...,n− 1:
g
k
(x)
def
= b
k0
+ b
k1
x + ...+ b
k,n−2
x
n−2
+ b
k,n−1
x
n−1
(мы изменили порядок нумерации коэффициентов по сравнению с §5) и со-
ставим матрицу из этих коэффициентов:
B =[b
kj
]
n−1
k,j=0
. (6.3)
40

Страницы