Теория исключения. Калинина Е.А - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 6.5. Пусть f(x),g(x),g
1
(x) — полиномы с рациональными ко-
эффициентами. Построить полином F (y), имеющий корни
g
1
(λ
1
)/g(λ
1
), ..., g
1
(λ
n
)/g(λ
n
) .
Решение. Можно воспользоваться результатами §6.1. Построив поли-
ном G(x) такой, что G(λ
j
)=g
1
(λ
j
)/g(λ
j
)(j =1,...,n), сведем задачу к
уже решенной. Можно действовать и напрямую: полином
F (y)=R(f(x),yg(x) − g
1
(x))
решает задачу при условии R(f(x),g(x)) =0.
6.3 Экстремальные значения полинома
Пусть задан полином с вещественными коэффициентами
f(x)=a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ...+ a
n
четной степени n. Предположим, что a
0
<0. Тогда функция y = f(x)до-
стигает максимального значения в одной из своих стационарных точек,
т.е. на вещественных корнях уравнения f
(x) = 0. Обозначим эти корни
µ
1
,...,µ
n−1
.Тогдаmaxf(x) находится среди его критических значений,
т.е. чисел f(µ
1
),...,f(µ
n−1
).
Задача. Построить полином F(z), корнями которого являются крити-
ческие значения полинома f(x).
Положим
F(z)
def
=(−1)
n−1
D(f(x) − z) . (6.4)
Здесь дискриминант вычисляется относительно переменной x,az cчита-
ется числовым параметром. На основании определения дискриминанта и
формулы (1.8), получаем требуемое свойство полинома F. По построению,
F∈Z[a
0
,a
1
,...,a
n
].
Пример 6.6. Для f(x)=x
4
+ px + q имеем
F(z) = 256 z
3
− 768qz
2
+ 768q
2
z +(27p
4
− 256 q
3
) .
Упражнение 6.7. Доказать, что свободный член F(z) равен
(−1)
n−1
D(f(x)). Что означает его обращение в нуль с точки зрения ма-
тематического анализа?
Упражнение 6.8. Построить полином F(z) для
а) f(x)=−x
4
− 4 x
3
+2x
2
+12x;
б) f(x)=−x
4
+4x
3
− 4 x
2
;
в) f(x)=−x
6
− 10 x
3
+12x
и установить, что max f(x) достигается в двух стационарных точках.
42

Страницы