Составители:
Рубрика:
Часть 2. Исключение переменных в
системе двух уравнений
7 Общие сведения о полиномах от двух
переменных
Рассмотрим полином от двух переменных x и y
f(x, y)=
n
"
j+k=0
a
jk
x
j
y
k
= a
00
+ a
1,0
x + a
01
y + a
2,0
x
2
+ a
1,1
xy + a
02
y
2
+ ...+
+ a
n0
x
n
+ a
n−1,1
x
n−1
y + ...+ a
1,n−1
xy
n−1
+ a
0n
y
n
, (7.1)
коэффициенты которого всюду в дальнейшем будем предполагать вещест-
венными или рациональными; f ∈ A[x, y] теперь означает f ∈ R[x, y]или
f ∈ Q[x, y].
Определение. Если полином f(x, y) содержит только мономы степе-
ни k:
f(x, y)=a
k0
x
k
+ a
k−1,1
x
k−1
y + ...+ a
1,k−1
xy
k−1
+ a
0k
y
k
то он называется однородным полиномом или формой степени k.Бу-
дем обозначать его f
k
(x, y).
Форма f
k
(x, y) обладает следующим свойством:
f
k
(t ·x, t ·y) ≡ t
k
f
k
(x, y) ∀t ∈ R .
Представление (7.1) полинома f(x, y) очевидным образом группируется по
формам:
f(x, y)=f
0
(x, y)+f
1
(x, y)+...+ f
n
(x, y) ,
где
f
0
(x, y) ≡ a
00
,f
1
(x, y)=a
1,0
x + a
01
y,...
Если deg f = n,тоформаf
n
(x, y) называется старшей формой полинома
f(x, y).
Упражнение 7.1. Сколькими коэффициентами задается полином n−й
степени?
Обобщением разложения (7.1) для полинома f(x, y) является разложение
по степеням X = x − x
0
и Y = y − y
0
при произвольных x
0
и y
0
.Новое
разложение снова может быть представлено в виде суммы форм — теперь
уже относительно X и Y :
f(x, y) ≡ f(X + x
0
,Y + y
0
)=F
0
(X, Y )+F
1
(X, Y )+...+ F
n
(X, Y ) . (7.2)
44
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
