Составители:
Рубрика:
Геометрический смысл вещественного нуля полинома f(x, y)степениn
— точка на алгебраической кривой n-го порядка, заданной уравнением
f(x, y) = 0; кривая может состоять из нескольких ветвей.Кратныйнуль
(см. условия (7.3)) определяет особую точку; последняя возникает, на-
пример, когда ветвь кривой пересекает саму себя. Вещественное решение
системы (7.4) очевидно определяет координаты точки пересечения алгебра-
ических кривых n-го и m-го порядков (рис. 1).
Рис. 1 Рис. 2
Частным случаем пересечения кривых является их касание (рис. 2).
Для того чтобы точка (x
0
,y
0
) была точкой касания необходимо, чтобы в
ней выполнялись условия:
f(x, y)=0,g(x, y)=0,
∂f
∂x
'
∂f
∂y
=
∂g
∂x
'
∂g
∂y
,
где последнее характеризует равенство угловых коэффициентов касатель-
ных к алгебраическим кривым f(x, y)=0иg(x, y)=0.
Определение. Выражение
J(x, y)=
∂f
∂x
∂g
∂y
−
∂g
∂x
∂f
∂y
(7.5)
называется якобианом полиномов f(x, y)иg(x, y).
Якобиан является двумерным аналогом производной полинома от од-
ной переменной. В частности, обращение его в нуль на некотором реше-
нии системы (7.4) означает, что решение — кратное.Такоерешениепри
бесконечно-малом возмущении коэффициентов полиномов распадается на
несколько простых. Геометрически это означает, что при небольшой де-
формации этих кривых такая точка неустойчива: она либо распадается на
две (или более) точки обычного пересечения, либо порождает пару мнимых.
Упражнение 7.5. Доказать, что при условии a
n0
=0,a
0n
=0асимп-
тотами кривой f(x, y)=0могутбытьлишьпрямыевидаy = Kx + L,
где
L = −
f
n−1
(1,K)
∂f
n
/∂y |
(1,K)
,
46
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- …
- следующая ›
- последняя »
