Теория исключения. Калинина Е.А - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

a K — вещественный корень уравнения
f
n
(1,y)=a
n0
+ a
n−1,1
y + ...+ a
1,n−1
y
n−1
+ a
0n
y
n
=0 ,
в предположении, что последнее не имеет кратных корней.
8 Общая схема исключения
Представим f(x, y)иg(x, y) в виде сумм их форм:
f(x, y)=f
n
(x, y)+f
n−1
(x, y)+...+ f
0
(x, y) ,
g(x, y)=g
m
(x, y)+g
m−1
(x, y)+...+ g
0
(x, y) .
Относительно коэффициентов старших форм
f
n
(x, y)=a
n0
x
n
+ a
n−1,1
x
n−1
y + ...+ a
0n
y
n
,
g
m
(x, y)=b
m0
x
m
+ b
m−1,1
x
m−1
y + ...+ b
0m
y
m
(8.1)
сделаем следующее предположение:
a
n0
=0,a
0n
=0,b
m0
=0,b
0m
=0 . (8.2)
Пара (α, β) ∈ C
2
будет решением (7.4) тогда и только тогда, когда по-
линомы f(α, y)иg(α, y) имеют общий корень y = β, а, следовательно, на
основании теоремы 1.1,
R(f(α, y),g(α, y)) = 0 . (8.3)
Запишем этот результант в форме Сильвестра (см. §1). Для этого разложим
f(α, y)иg(α, y)поубывающимстепенямy
f(α, y)=A
0
y
n
+ A
1
(α)y
n−1
+ ...+ A
n
(α) ,
g(α, y)=B
0
y
m
+ B
1
(α)y
m−1
+ ...+ B
m
(α)
(здесь A
0
= a
0n
=0,B
0
= b
0m
= 0 по (8.2), deg A
j
(α) ≤ j,degB
j
(α) ≤ j)и
вычислим определитель Сильвестра
m
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
n
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
A
0
A
1
(α) ... A
n
(α) O
A
0
... A
n
(α)
.
.
.
...
.
.
.
A
0
A
1
(α) ...A
n
(α)
O B
0
...B
m
(α)
B
0
B
1
(α) ...
.
.
.
...
.
.
.
B
0
B
1
(α) ... B
m
(α)
B
0
B
1
(α) ... B
m
(α) O
= X(α) . (8.4)
47

Страницы