Теория исключения. Калинина Е.А - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Найдем ее корни: α
1
=0,α
2
=1,α
3
=2,α
4
= −2.
Итак, найдены x-компоненты решений системы. Как найти их y-компо-
ненты? Можно построить вторую элиминанту Y(y), отыскать ее корни, со-
ставить всевозможные пары из корней X(x)иY(y), подставить их в f(x, y)
и g(x, y) и проверить на равенство нулю. Либо же найденный корень x = α
подставить в одно из уравнений: f(α, y) = 0, решить его относительно y,и
каждую полученную таким образом пару подставить в g(x, y); хотя бы од-
на из них должна удовлетворить уравнению g(x, y)=0. Наэтихпутяхнас
ожидает следующее препятствие: как правило, корни элиминант невозмож-
но установить точно; погрешность же вычислений может повлечь ошибку
привыявленииистиннойпары(α, β).
Хотелось бы минимизировать использование численных методов. Удов-
летворить это желание поможет один из результатов первой части. Вспом-
ним, что при x = α полиномы f(α, y)иg(α, y) имеют общий корень, а,
следовательно, существует нетривиальный НОД (f(α, y),g(α, y)). Степень
этого НОД и его аналитическое выражение через коэффициенты полиномов
f(α, y)иg(α, y) можно найти с помощью теории субрезультантов.
Так, если первый субрезультант полиномов f(α, y)и
g(α, y) не обраща-
ется в нуль: R
(1)
(α) =0,тоНОД будет первой степени и его выражение
6
:
R
(1)
(α)y +detM
(1)
1
(α) . (8.5)
Для нашего примера
1 −7x − 2
1 −14x − 4
y +
14x
2
+13x − 3
19x
2
+28x − 5
=(−7x − 2)y +(5x
2
+15x − 2) ,
R
(1)
(x)=−7x − 2 =0приx =0, 1, 2, −2. Следовательно, соответствующие
этим корням значения y находятся по формуле (3.3):
y = −det M
(1)
1
(x)/R
(1)
(x) . (8.6)
Ответ. Решения системы: (1, 2); (2, 3); (0, −1); (−2, 1).
Теорема 8.3. При выполнении условий (8.2) и
R(X(x), R
(1)
(x)) =0 (8.7)
система (7.4) может быть сведена к эквивалентной ей (т.е. имеющей
такое же множество решений) системе
X(x)=0, R
(1)
(x)y +detM
(1)
1
(x)=0 . (8.8)
Действительно, условие (8.7) эквивалентно тому, что X(x)иR
(1)
(x)не
имеют общих корней и, следовательно, R
(1)
(α) =0.
Что происходит при нарушении условия (8.7)?
6
См. теорему 3.3.
49

Страницы