Теория исключения. Калинина Е.А - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Пример 8.2. Решить систему уравнений
!
f(x, y)=x
3
− 2x
2
y − 4xy
2
+2y
3
+6x
2
+12xy − 16x − 8y =0 ,
g(x, y)=−3x
3
−4x
2
y−3xy
2
+4y
3
+2x
2
+24xy−10y
2
−12x−16y+40=0 .
Решение. Найдем элиминанту X(x), первый субрезультант и опреде-
литель матрицы M
(1)
1
:
X(x)=−750x
2
(3x
7
+2x
6
−120x
5
+112x
4
+1136x
3
−2400x
2
+256x+1536)=
= −750 x
2
(x +
2
/
3
)(x +4)(x − 4)(x +6)(x − 2)
3
,
R
(1)
(x)=−1000 x(x − 2)
2
, det M
(1)
1
(x)=50x(x −2)
2
(3 x
2
+10x + 32) .
На корнях −
2
/
3
, −4, 4, −6 элиминанты X(x)формула(8.6)даетистинные
значения y-компоненты:
4
/
3
, 2, 6, 4 соответственно.
Однако на корнях x =0иx =2имеемR
(1)
(x) = 0, и формула (8.6)
неприменима — хотя формула (8.8) продолжает оставаться справедливой,
обращаясь в тождество вида 0 ≡ 0. (Попытка использования формулы (8.6)
после удаления общего множителя x(x − 2)
2
оканчивается неудачей: так,
пара (90,
8
/
5
) не является решением системы.)
По-видимому, при этих значениях α полиномы f(α, y)иg(α, y)имеют
более одного общего корня, и для нахождения НОД (f(α, y),g(α, y)) восполь-
зуемся вторым субрезультантом:
R
(2)
(x) = 10(x − 2), det M
(1)
2
(x) ≡ 0 ,
det M
(2)
2
(x)=−10(x
3
+2x
2
− 4x −8) = −10(x − 2)(x +2)
2
.
Для соответствующих y-компонент получаем уравнение
R
(2)
(α)y
2
+detM
(1)
2
(α)y +detM
(2)
2
(α)=0 . (8.9)
Для нашего примера (α −2)y
2
−(α −2)(α +2)
2
=0,иR
(2)
(α) =0приα =0;
так что для этого значения x уравнение (8.9) дает два верных значения y-
компоненты: y
2
−4 = 0. В самом деле, (0, 2) и (0, −2) — решения системы.
Более того, уравнение (8.9) остается справедливым и на группе решений,
полученной на предыдущем этапе. Однако при α = 2 оно обращается в
тождество вида 0 ≡ 0 (не помогает даже удаление общего множителя (x−2):
точки (2, 4) и (2, −4) решениями системы не являются).
По-видимому, при этом α полиномы f(α, y)иg(α, y)имеютболеедвух
общих корней, и для нахождения НОД (f(α, y),g(α, y)) следует воспользо-
ваться третьим субрезультантом. Но он не существует (в матрице M вы-
черкивать нечего). Это неудивительно — НОД (f(2,y),g(2,y)) должен иметь
степень не меньшую трех, но сами исходные полиномы f(2,y)иg(2,y)—
как раз третьей степени
f(2,y)=2(y
3
−4y
2
+4y)=2y(y −2)
2
,g(2,y)=4(y
3
−4y
2
+4y)=4y(y −2)
2
,
50

Страницы