Составители:
Рубрика:
X(α)—полиномпоα. Для выполнения условия (8.3) необходимо и до-
статочно, чтобы значение α удовлетворяло уравнению X(x) = 0. Если
{f, g}⊂A[x, y], то и X(x) ∈ A[x].
Определение. Полином X(x) — т.е. результант f(x, y)иg(x, y), рас-
сматриваемых как полиномы по переменной y
X(x)
def
= R
y
(f(x, y),g(x, y)) ,
называется элиминантой системы (7.4) по x. Аналогично определяется
и вторая элиминанта системы
Y(y)
def
= R
x
(f(x, y),g(x, y)) .
Для простоты, мы не учитывали здесь (и не будем учитывать в последую-
щих примерах) знак (−1)
n(n−1)/2
в выражениях обеих элиминант.
Теорема 8.1. Пусть выполнено условие (8.2).Еслипара(α, β) являет-
ся решением (7.4), то необходимо, чтобы X(α)=0и Y(β)=0.
Таким образом, решение системы (7.4) сводится к решению одного
уравнения от одной переменной: X(x)=0(илиY(y) = 0). Говорят, что
другая переменная исключена. Поэтому и соответствующий раздел алгеб-
ры называется теорией исключения.
Пусть теперь x = α —произвольныйкореньX(x): X(α)=0. Тогда
выполнено условие (8.3), а значит, f(α, y)иg(α, y) как полиномы от y имеют
хотя бы один общий корень β.
Теорема 8.2. Пусть выполнено условие (8.2). Тогда для любого корня
α элиминанты X(x) существует хотя бы одно значение y = β такое, что
пара (α, β) оказывается решением (7.4).
Пример 8.1. Решить систему уравнений
!
f(x, y)=4x
2
− 7 xy + y
2
+13x − 2 y − 3=0 ,
g(x, y)=9x
2
− 14 xy + y
2
+28x −4 y − 5=0 .
Решение. Составим элиминанту X(x):
f(x, y)=y
2
+(−7 x − 2)y +(4x
2
+13x − 3) ,
g(x, y)=y
2
+(−14 x − 4) + (9 x
2
+28x −5) ,
X(x)=
1 −7x − 24x
2
+13x − 30
01 −7x − 24x
2
+13x − 3
01 −14x −49x
2
+28x − 5
1 −14x − 49x
2
+28x − 50
=
= 24(x
4
− x
3
− 4x
2
+4x) .
48
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
