Теория исключения. Калинина Е.А - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Здесь
F
0
(X, Y )=f(x
0
,y
0
),F
1
(X, Y )=
∂f
∂x
(x
0
,y
0
)
X +
∂f
∂y
(x
0
,y
0
)
Y,
F
2
(X, Y )=
∂
2
f
∂x
2
(x
0
,y
0
)
X
2
+2
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
,y
0
)
XY +
∂
2
f
∂y
2
(x
0
,y
0
)
Y
2
,
F
k
(X, Y )=
k
"
j=0
C
j
k
∂
k
f
∂x
k−j
∂y
j
(x
0
,y
0
)
X
k−j
Y
j
(k ≥ 1) ,
где C
j
k
def
=
k!
j!(k − j)!
— биномиальный коэффициент.
Определения. Точка (x
0
,y
0
) ∈ C
2
называется нулем полинома f(x, y),
если f(x
0
,y
0
) = 0. Нуль называется простым,еслиF
1
(X, Y ) ≡ 0, и крат-
ным кратности k + 1, если в разложении (7.2) будет
F
0
(x, y)=0,F
1
(X, Y ) ≡ 0,...,F
k
(X, Y ) ≡ 0,F
k+1
(X, Y ) ≡ 0 .
Понятно, что для того чтобы точка (x
0
,y
0
) была кратным нулем f(x, y),
необходимо и достаточно, чтобы
f(x
0
,y
0
)=
∂f
∂x
(x
0
,y
0
)
=
∂f
∂y
(x
0
,y
0
)
=0 . (7.3)
Упражнение 7.2. Установить кратность нуля (1, −1) для полинома
x
2
+ xy− x − y.
Упражнение 7.3. Доказать, что если (x
0
,y
0
) — нуль полинома f(x, y)
кратности k и при этом x
0
/∈ R или y
0
/∈ R,то(x
0
, y
0
) — также нуль
полинома, причем той же кратности.
Определение. Нуль (x
0
,y
0
) полинома f(x, y) будем называть вещест-
венным, если x
0
∈ R и y
0
∈ R; в противном случае пару (x
0
,y
0
)и(x
0
, y
0
)
будем называть комплексно-сопряженными нулями.
Упражнение 7.4. Доказать, что если (x
0
,y
0
) — нуль формы f
k
(x, y)
при k>0, то при любом значении t ∈ C точка (tx
0
,ty
0
) также будет нулем
f
k
(x, y).
Задача. Решить систему двух уравнений
f(x, y)=0,g(x, y)=0 , (7.4)
т.е. найти общие нули полиномов f(x, y)иg(x, y). Нас интересуют все
решения (7.4), в том числе и комплексные (x, y) ∈ C
2
.
45

Страницы