Теория исключения. Калинина Е.А - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 6.3 (Эрмит). F (y)=(−1)
n
det(B − yE)=
=(−1)
n
b
00
− yb
01
b
02
... b
0,n−1
b
1,0
b
1,1
− yb
1,2
... b
1,n−1
... ...
b
n−1,0
b
n−1,1
b
n−1,2
... b
n−1,n−1
− y
.
Доказательство . Равенства
y = g(x),xy= g(x)x, ...,x
n−1
y = g(x)x
n−1
,
при подстановке x = λ
j
переходят в
y = g
0
(λ
j
),λ
j
y = g
1
(λ
j
),...,λ
n−1
j
y = g
n−1
(λ
j
) .
Рассмотрим получившиеся уравнения как линейную однородную систему
относительно столбца неизвестных X =[1,λ
j
,...,λ
n−1
j
]
t
. Поскольку эта
система имеет нетривиальное решение, то определитель ее матрицы должен
обращаться в нуль. 2
Пример 6.4. Решить пример 6.2 по методу Эрмита.
Решение. Имеем g
0
(x) ≡ g(x)=−1+x + x
2
; g
1
(x)=−3+x + x
2
;
g
2
(x)=−3 − x + x
2
, следовательно
F (y)=(−1)
3
−1 −y 11
−31− y 1
−3 −11− y
= y
3
− y
2
+6y − 4 .
Упражнение 6.5. Найти преобразование Чирнгауза y = g(x) полинома
f(x) для
a) f(x)=x
3
− x
2
− 2x +1,g(x)=−x
2
+2;
б) f(x)=x
4
+ x
3
+ x
2
+ x +1,g(x)=x
3
+ x
2
+ x +1;
в) f(x)=x
5
− 1,g(x)=x
4
− 1.
Упражнение 6.6. Пусть f(x)=a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ...+ a
n
, a
0
=0.До-
казать, что полином
F (y)=
a
n
a
n−1
a
n−2
... a
2
a
1
a
0
a
0
ya
n
a
n−1
... a
3
a
2
a
1
a
1
ya
0
ya
n
... a
4
a
3
a
2
... ...
a
n−3
ya
n−4
ya
n−5
y ... a
n
a
n−1
a
n−2
a
n−2
ya
n−3
ya
n−4
y ... a
0
ya
n
a
n−1
a
n−1
ya
n−2
ya
n−3
y ... a
1
ya
0
ya
n
представляет преобразование Чирнгауза y = x
n+1
полинома f(x),т.е.F (y)
имеет корнями (n +1)-е степени корней полинома f(x).
41

Страницы