Составители:
Рубрика:
определитель которой равен a
3
0
B
3
. 2
Упражнение 5.4. С помощью теоремы 3.3 установить справедливость
утверждений пунктов б) и в) теоремы 5.3 .
Упражнение 5.5. Найти НОД (f, g) и его линейное представление для
а) f(x)=x
4
− x
3
− 4x
2
− x +1,g(x)=2x
4
− 6x
3
+3x
2
− 3x +1;
б) f(x)=2x
3
− 7x
2
+11x −6,g(x)=x
4
− x
3
+3x
2
− 4x +1.
Упражнение 5.6. При каком условии полиномы
a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
и b
0
x
4
+ b
1
x
3
+ b
2
x
2
+ b
3
x + b
4
имеют НОД второй степени? Найти этот НОД .
6Приложения
6.1 Уничтожение иррациональности в знаменателе
Пусть f(x),g(x),g
1
(x)—полиномыизA[x], и λ
1
,...,λ
n
—корниf(x).
Задача. Для рациональной дроби g
1
(x)/g(x) найти такой полином
G(x) ∈ A[x], чтобы
G(λ
1
)=g
1
(λ
1
)/g(λ
1
), ..., G(λ
n
)=g
1
(λ
n
)/g(λ
n
) .
Главным образом, нас будет интересовать случай, когда коэффициен-
ты f(x),g(x)иg
1
(x) являются рациональными числами, но среди корней
λ
1
,...,λ
n
полинома f(x) имеются иррациональные. Именно в этом слу-
чае поставленную задачу и называют задачей об уничтожении иррацио-
нальности в знаменателе выражения g
1
(λ)/g(λ). Здесь предполагается, что
λ ∈{λ
1
,...,λ
n
}.
Теорема 6.1. Если R(f, g) =0, то всегда существует полином G(x),
решающий поставленную задачу. При условии deg G<n такой полином опре-
деляется единственным образом, и его коэффициенты будут рационально
зависеть от коэффициентов f(x),g(x) и g
1
(x).
Доказательство . По теореме 1.2, существуют полиномы ˜v(x)и˜u(x),
удовлетворяющие тождеству (1.14):
˜v(x)f(x)+˜u(x)g(x) ≡R(f, g) ,
а если их строить согласно алгоритму теоремы, то легко видеть, что их
коэффициенты — как и коэффициенты R(f, g)—принадлежатA. Подстав-
ляем в тождество x = λ
j
:
˜u(λ
j
)g(λ
j
)=R(f, g) ⇒
1
g(λ
j
)
=
˜u(λ
j
)
R(f, g)
и
g
1
(λ
j
)
g(λ
j
)
=
g
1
(λ
j
)˜u(λ
j
)
R(f, g)
.
37
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
