Составители:
Рубрика:
пункте в) теоремы. Однако для практических целей удобнее после нахож-
дения u
0
,...,u
n−1
использовать формулы (4.10) напрямую. Заметим, что
v(x) равен частному от деления u(x)g(x)наf(x), взятому с противополож-
ным знаком.
Замечание. Для n ≤ m утверждение пункта в) теоремы обобщается
следующим образом: полином u(x) не изменяется, а к полиному v(x)при-
бавляется −L(x)u(x), где L(x) – частное от деления g(x)наf(x), которое
может быть найдено по формуле (4.3).
Пример 4.2. Найти
НОД (2 x
5
+ x
4
− x
3
+4x
2
+2x − 2, 10 x
3
+3x
2
− 6 x +1)
и его линейное представление.
Решение. По формулам (4.4) вычисляем c
0
,...,c
8
:
{c
j
}
8
j=0
= {0, 5, −1, 0, −10, 2, 0, 20, −4} .
Составляем матрицу (4.8)
C =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
05−10−10
5 −10−10 2
−10−1020
0 −10 2 0 20
−10 2 0 20 −4
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
и вычисляем ее главные миноры (начиная с последнего): C
5
=0,
C
4
=0,C
3
= 251 = 0. Согласно пункту б) теоремы, deg(НОД )=2и
НОД (f, g)=
05−1 · f
3
(x)+0· f
4
(x) − 10 ·f
5
(x)
5 −10· f
3
(x) − 10 · f
4
(x)+2·f
5
(x)
−10−10 · f
3
(x)+2· f
4
(x)+0·f
5
(x)
,
где f
3
=2x
2
+ x − 1,f
4
=2x +1,f
5
= 2. Разложив определитель по по-
следнему столбцу, получаем: НОД (f, g) = 251(2 x
2
+ x −1). Для нахождения
полиномов его линейного представления воспользуемся пунктом в) теоре-
мы.
u(x)=
051
5 −1 x
−10x
2
= −25 x
2
− 5 x − 1 .
В соответствии с теоремой, deg(v(x)) = 0, и v(x) = 125.
Упражнение 4.3. Найти НОД (f, g) и его линейное представление для
а) f(x)=9 x
5
+6 x
4
+3 x
3
+3 x
2
+2 x+1,g(x)=3 x
4
+5 x
3
+6 x
2
+3 x+1;
б) f(x)=x
6
−5 x
5
+x
4
−3 x
3
−5 x
2
+x+1,g(x)=x
5
−5 x
4
+x
3
−4 x
2
+1;
в) f(x)=x
4
− 1,g(x)=x
3
+ i ;
г) f(x)=x
6
− x
5
+4x
4
− 3 x
3
+4x
2
− x +1,
g(x)=2x
5
− 2 x
4
+5x
3
− 4 x
2
+4x − 1.
29
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
