Теория исключения. Калинина Е.А - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 3.3. а) Для существования d общих корней у f(x) и g(x) (т.е.
для того, чтобы deg(НОД (f, g)) = d), необходимо и достаточно, чтобы
R(f, g)=R
(1)
(f, g)=...= R
(d−1)
(f, g)=0, R
(d)
(f, g) =0 .
б) В этом случае НОД (f,g) можно представить в виде
x
d
R
(d)
(f, g)+x
d−1
det M
(1)
d
+ ...+detM
(d)
d
.
Здесь M
(j)
d
— матрица, получаемая из M
d
заменой последнего столбца на
столбец
[a
m+n−2d+j−1
,a
m+n−2d+j−2
,...,a
n−d+j
,b
m−d+j
,
b
m−d+j+1
,...,b
m+n−2d+j−1
]
t
(здесь полагаем a
K
=0при K>nи b
L
=0при L>m).
в) Полиномы v(x) и u(x) из A[x], дающие линейное представление
НОД (f,g) (см. формулу (1.13)), получаются из R
(d)
заменой в нем послед-
него столбца на
x
m−d−1
,x
m−d−2
,...,x,1, 0, 0,...,0
t
и
0, 0,...,0, 0, 1,x,...,x
n−d−1
t
соответственно. Эти полиномы будут единственными при ограничениях
на степени:
deg v ≤ m −d − 1, deg u ≤ n − d −1 .
Упражнение 3.5. Доказать пункты a) и в) теоремы 3.3.
Подсказка. Для пункта в) в случае
f(x)=a
0
x
5
+ a
1
x
4
+ a
2
x
3
+ a
3
x
2
+ a
4
x + a
5
,g(x)=b
0
x
3
+ b
1
x
2
+ b
2
x + b
3
и d = 2 рассуждения будут следующими. Домножим R
(2)
на x
2
:
x
2
R
(2)
= x
2
a
0
a
1
a
2
a
3
00b
0
b
1
0 b
0
b
1
b
2
b
0
b
1
b
2
b
3
=
a
0
a
1
a
2
a
3
x
2
00b
0
b
1
x
2
0 b
0
b
1
b
2
x
2
b
0
b
1
b
2
b
3
x
2
=
теперь к последнему столбцу прибавим первый, умноженный на x
5
,второй,
умноженный на x
4
, и третий, умноженный на x
3
:
=
a
0
a
1
a
2
a
0
x
5
+a
1
x
4
+a
2
x
3
+a
3
x
2
00b
0
b
0
x
3
+b
1
x
2
0 b
0
b
1
b
0
x
4
+b
1
x
3
+b
2
x
2
b
0
b
1
b
2
b
0
x
5
+b
1
x
4
+b
2
x
3
+b
3
x
2
=
a
0
a
1
a
2
f(x)−(a
4
x+a
5
)
00b
0
g(x)−(b
2
x+b
3
)
0 b
0
b
1
xg(x)−b
3
x
b
0
b
1
b
2
x
2
g(x)
=
23

Страницы