Теория исключения. Калинина Е.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

3 Субрезультанты
Рассмотрим снова пример 1.1. Пусть R(f, g) = 0. Тогда, по теореме
1.1, существует общий корень полиномов f(x)иg(x). Выразим его через
коэффициенты полиномов.
Неизвестное значение x = c этого корня должно удовлетворять равен-
ствам (1.1). Отбросим первое и последнее из них:
a
0
c
6
+a
1
c
5
+a
2
c
4
+a
3
c
3
+a
4
c
2
+ a
5
c =0 ,
a
0
c
5
+a
1
c
4
+a
2
c
3
+a
3
c
2
+a
4
c+a
5
=0 ,
b
0
c
3
+b
1
c
2
+b
2
c+b
3
=0 ,
b
0
c
4
+b
1
c
3
+b
2
c
2
+ b
3
c =0 ,
b
0
c
5
+b
1
c
4
+b
2
c
3
+ b
3
c
2
=0 ,
b
0
c
6
+b
1
c
5
+b
2
c
4
+ b
3
c
3
=0 .
(3.1)
Перепишем в матричном виде
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
0 a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
000b
0
b
1
b
2
00b
0
b
1
b
2
b
3
0 b
0
b
1
b
2
b
3
0
b
0
b
1
b
2
b
3
00
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

M
1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
c
6
c
5
c
4
c
3
c
2
c
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
−a
5
−b
3
0
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Пусть det M
1
= 0. Тогда, по теореме Крамера, существует единственное
решение системы (3.1), и корень c представ
´
им в виде
c = −
det M
(1)
1

a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
0
a
1
a
2
a
3
a
5
b
0
b
1
b
3
b
0
b
1
b
2
b
0
b
1
b
2
b
3
b
0
b
1
b
2
b
3
det M
1
.
Определение. Определитель матрицы M
1
, получаемой из матрицы
(1.3) вычеркиванием первого и последнего столбцов, первой и последней
строк, называется первым субрезультантом полиномов f и g; будем обо-
значать его R
(1)
(f, g).
Теорема 3.1. Для того чтобы f(x) и g(x) имели только один общий
корень, необходимо и достаточно, чтобы
R(f, g)=0, R
(1)
(f, g) =0 .
19

Страницы