Теория исключения. Калинина Е.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

2 Дискриминант
Для того чтобы полином f(x)=a
0
x
n
+a
1
x
n−1
+...+a
n
∈ A[x]имелкратный
корень, необходимо и достаточно, чтобы он имел общий корень со своей
производной f
(x). По теореме 1.1, для этого необходимо и достаточно,
чтобы R(f, f
) = 0. Соответствующий определитель
D =
a
0
a
1
... a
n−2
a
n−1
a
n
a
0
... a
n−3
a
n−2
a
n−1
a
n
O
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
0
a
1
... a
n−1
a
n
O na
0
... 2a
n−2
a
n−1
na
0
(n −1)a
1
... a
n−1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
na
0
(n − 1)a
1
... a
n−1
O
na
0
(n − 1)a
1
... a
n−1
будетделитьсянаa
0
(общий множитель элементов первого столбца).
Определение. Выражение D/a
0
называется дискриминантом поли-
нома f(x) и обозначается D(f):
D(f)
def
= D/a
0
=(−1)
n(n−1)/2
R(f, f
)/a
0
. (2.1)
По построению, дискриминант является полиномом относительно ко-
эффициентов a
0
,...,a
n
:
D(a
0
x
n
+ ...+ a
n
) ∈ Z[a
0
,...,a
n
];
степень этого полинома равна 2n − 2, и в своем разложении по степеням
a
0
,...,a
n
он будет содержать слагаемое (−1)
n(n−1)/2
n
n
a
n−1
0
a
n−1
n
.
Пример 2.1. Для квадратного трехчлена
D(a
0
x
2
+ a
1
x + a
2
)=
1
a
0
a
0
a
1
a
2
02a
0
a
1
2a
0
a
1
0
= a
2
1
− 4 a
0
a
2
.
Упражнение 2.1. Доказать, что
a) D(x
3
+ px+ q)=−108
q
2
4
+
p
3
27
;
б) D(a
0
x
3
+a
1
x
2
+a
2
x+a
3
)=a
2
1
a
2
2
−4a
3
1
a
3
−4 a
0
a
3
2
+18a
0
a
1
a
2
a
3
−27 a
2
0
a
2
3
;
в) D(x
4
+ px+ q) = 6912
q
3
27
−
p
4
256
.
Следующий результат является очевидным следствием теоремы 1.1.
17

Страницы