Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 3 стр.

1     Введение
Теория интегральных уравнений — обширная область математики, которая имеет при-
ложения в самых разных областях. Интегральным уравнениям посвящены десятки пре-
восходных книг и учебников. Настоящие краткие заметки не могут и не должны за-
менять собой полноценный учебник и предназначены лишь для первого знакомства с
основными понятиями. В связи с этим используется минимум терминологии из функци-
онального анализа. Оборотной стороной такого подхода является не самая общая фор-
мулировка некоторых теорем и необходимость опустить некоторые доказательства. Что
касается краевых задач, то они являются одним из приложений теории интегральных
уравнений и непосредственно примыкают к рассмотренному кругу вопросов.

2     Краевые задачи, функция Грина.
2.1   Краевая задача.
Будем говорить о линейном дифференциальном уравнении (ДУ) 2 порядка
                             y 00 + p1 (x) y 0 + p2 (x) y = f (x)                (1)
Краевая задача для этого уравнения ставится так: найти решение ДУ, удовлетворяющее
граничным условиям
                               y(a) = y0 ,  y(b) = y1                           (2)
В отличие от задачи Коши эти дополнительные условия ставятся в различных точках
a и b. Иногда граничные условия имеют более общий вид:
                    α1 y(a) + β1 y 0 (a) = A0 , α2 y(b) + β2 y 0 (b) = A1 ,
но мы ограничимся более простыми граничными условиями без участия производных.
   Можно без потери общности рассматривать нулевые граничные условия. Действи-
тельно, при линейной замене неизвестной функции z(x) = y(x) + αx + β уравнение для z
снова будет линейным, а константы α и β можно выбрать так, чтобы сделать граничные
условия нулевыми. А именно:
                               y1 − y0
                 z(x) = y(x) −          (x − a) − y0 , z(a) = z(b) = 0
                                b−a
                                    R
   Умножив уравнение на p(x) = exp( p1 (x)dx), его можно привести к так называемому
самосопряженному виду
                              (p(x)y 0 )0 + q(x)y = g(x),                        (3)
который обладает рядом полезных свойств.
   Поэтому ниже мы будем говорить о краевой задаче вида:

                   L̂ y ≡ (p(x)y 0 )0 + q(x)y = f (x),    y(a) = y(b) = 0        (4)
Соответственно, однородной краевой задачей будем называть случай f (x) = 0 .
   Для задачи Коши есть, как известно, теорема единственности, которая гарантирует
существование решения и его единственность при достаточно "хороших"коэффициентных
функциях, входящих в уравнение. Для краевой задачи задачи подобной теоремы един-
ственности нет. Проиллюстрируем это примером.

                                              1